高数公式速查#

只放必须背下来的东西，不放例题、不放推导。考前翻这一页就够了。

极限的基本结论#

两个重要极限#

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e \qquad\Longleftrightarrow\qquad \lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{1/x} = e$$

速算公式（$1^{\infty}$ 型的核心，比硬套定义快得多）：

$$\lim\left[1 + u(x)\right]^{v(x)} = e^{\,\lim u(x)v(x)} \qquad \bigl(\lim u = 0\bigr)$$

三种幂指未定式的统一解法：

$$u^{v} = e^{v\ln u} \qquad\Longrightarrow\qquad \lim u^{v} = e^{\,\lim v\ln u}$$

$1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$ 三种数过去都是 $0\cdot\infty$ 型：

等价无穷小#

全部是 $x \to 0$ 时的结论：

使用铁律：

• 只能对乘除因子整体替换；
• 加减项不能替换，低阶项抵消时必须先提公因式化减为乘。

无穷小、无穷大与阶#

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x),\quad \alpha \text{ 为无穷小}$$

• 有限个无穷小的和、积仍是无穷小；
• 常数 × 无穷小 = 无穷小；
• 有界函数 × 无穷小 = 无穷小；
• $f(x) \neq 0$ 时：$f$ 是无穷大 $\iff \dfrac{1}{f}$ 是无穷小。

阶的定义（$\alpha, \beta$ 同为无穷小，$\beta \neq 0$）：

若 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta^{k}} = c \neq 0$，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。

连续与间断点#

连续的三要素（缺一不可）：

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$$

1. $f(x_0)$ 有定义；2. 极限存在且有限；3. 两者相等。

$$f \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff f \text{ 既左连续又右连续}$$

关系链（箭头不可逆）：

$$\text{可导} \;\Longrightarrow\; \text{连续} \;\Longrightarrow\; \text{有极限}$$

间断点分类：

求导基本公式表#

记忆线索：带 co 的三角函数求导都带负号；双曲函数求导比三角函数少一个负号，唯一例外是 $\coth$。

求导运算法则#

四则运算：

$$(u \pm v)' = u' \pm v'$$ $$(uv)' = u'v + uv'$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}$$

复合函数（链式法则）：

$$\frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot g'(x) = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

反函数：

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \qquad \left[f^{-1}(y)\right]' = \frac{1}{f'(x)} \qquad (f'(x) \neq 0)$$

隐函数 $F(x,y) = 0$：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

（实操：两边对 $x$ 求导，遇到 $y$ 多乘一个 $y'$，再解出来。）

参数方程 $x = \varphi(t),\ y = \psi(t)$：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$ $$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{\left[\varphi'(t)\right]^{3}} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\varphi'(t)}$$

陷阱：$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} \ne \dfrac{\psi''}{\varphi''}$。记不住长公式就用右边那个等价写法：对 $t$ 求导，再除以 $\varphi'(t)$。

幂指函数 $y = u^{v}$（$u > 0$）：

$$\left(u^{v}\right)' = u^{v}\left(v'\ln u + \frac{v\,u'}{u}\right)$$

对数求导法：$y = \dfrac{u_1 u_2 \cdots}{v_1 v_2 \cdots}$ 型，先取 $\ln$ 再两边求导：

$$\frac{y'}{y} = \frac{u_1'}{u_1} + \frac{u_2'}{u_2} - \frac{v_1'}{v_1} - \frac{v_2'}{v_2}$$

高阶导数公式#

$$\left(e^{ax}\right)^{(n)} = a^{n}e^{ax}$$ $$\left(a^{x}\right)^{(n)} = a^{x}\left(\ln a\right)^{n}$$ $$\left(\sin x\right)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \qquad \left(\cos x\right)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$$ $$\left(x^{m}\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n}, & n \le m \\[4pt] 0, & n > m \end{cases}$$ $$\left(\ln x\right)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}}$$ $$\left(\frac{1}{a+x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^{n}\,n!}{(a+x)^{n+1}}$$

莱布尼茨公式：

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,u^{(n-k)}\,v^{(k)}$$

实用口诀：把求导后会变 $0$ 的因子放在 $v$ 位，求和自动截断。

微分公式#

$$dy = f'(x)\,dx$$ $$\Delta y = A\,\Delta x + o(\Delta x) \quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ 可微} \quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ 可导}$$

一阶微分形式不变性（$u$ 是自变量或中间变量都成立）：

$$dy = f'(u)\,du$$

微分法则：

$$d(u \pm v) = du \pm dv$$ $$d(uv) = u\,dv + v\,du$$ $$d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\,du - u\,dv}{v^{2}}$$

近似计算与误差估计：

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$$ $$\lvert \Delta y\rvert \approx \lvert dy\rvert = \lvert f'(x_0)\rvert\,\lvert \Delta x\rvert$$

常用近似式（$\lvert x\rvert$ 很小）：

$$e^{x} \approx 1 + x, \qquad \ln(1+x) \approx x, \qquad \sin x \approx x, \qquad \tan x \approx x$$ $$(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x, \qquad \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2}$$

双曲函数#

定义：

$$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$ $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}, \qquad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$$

核心恒等式：

$$\cosh^{2}x - \sinh^{2}x = 1$$ $$1 - \tanh^{2}x = \frac{1}{\cosh^{2}x}, \qquad \coth^{2}x - 1 = \frac{1}{\sinh^{2}x}$$

和角公式（注意 $\cosh$ 那条的符号是 $+$）：

$$\sinh(x \pm y) = \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y$$ $$\cosh(x \pm y) = \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y$$

倍角公式：

$$\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x = \cosh^{2}x + \sinh^{2}x = 2\cosh^{2}x - 1 = 2\sinh^{2}x + 1$$

反双曲函数：

$$\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right), \qquad x \in \mathbb{R}$$ $$\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right), \qquad x \ge 1$$ $$\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}, \qquad \lvert x\rvert < 1$$

反双曲函数的导数（积分时常用）：

$$\left(\operatorname{arsinh} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$ $$\left(\operatorname{arcosh} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \qquad (x > 1)$$ $$\left(\operatorname{artanh} x\right)' = \frac{1}{1 - x^{2}} \qquad (\lvert x\rvert < 1)$$

切线与法线、渐近线#

切线（点 $(x_0, f(x_0))$，斜率 $k = f'(x_0)$）：

$$y - f(x_0) = f'(x_0)\left(x - x_0\right)$$

法线（当 $f'(x_0) \neq 0$）：

$$y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}\left(x - x_0\right)$$

三种渐近线：

洛必达法则#

三个条件（缺一不可）：

1. 型必须是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$；
2. $x_0$ 的去心邻域内 $f'(x)$、$g'(x)$ 存在，且 $g'(x) \neq 0$；
3. $\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$）。

满足时：

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

可以连续使用，但每用一次都必须重新验型。

三条红线：

• 条件 3 是充分不必要的：$\lim\dfrac{f'}{g'}$ 不存在，推不出 $\lim\dfrac{f}{g}$ 不存在（反例 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\sin x}{x} = 1$，但 $(1+\cos x)$ 无极限）；
• 数列极限不能用，$n$ 是离散的不可导；
• 总之，先等价无穷小替换，再验型后才能使用洛必达。

洛必达：各种未定式怎么化成能用的型#

洛必达只吃 $\dfrac{0}{0}$ 和 $\dfrac{\infty}{\infty}$，其余全是”先变形再洛必达”。

三个操作要点：

• $0\cdot\infty$ 搬谁下去：搬”求导后会变简单”的那个。例：$x\ln x$ 要把 $x$ 搬到分母成 $\dfrac{1}{x}$，求导后得 $-\dfrac{1}{x^{2}}$，正好把分子里的 $\dfrac{1}{x}$ 约掉；
• $\infty - \infty$ 先通分，通完通常自动降级成 $\dfrac{0}{0}$；含根号的先有理化；
• 幂指型一律取对数，把指数拉下来变成乘积，此时极限记为 $A$，原极限是 $e^{A}$。

未定式与对应手法#