Part 1 极限#

数列极限#

定义#

按照一定次序排列的一列无穷多个数

$$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_n,\ \dots$$

称为数列，记作 $\{x_n\}$，其中第 $n$ 项 $x_n$ 称为通项.

从函数的角度看，数列就是定义在正整数集上的函数 $x_n = f(n)$. 所以数列是离散的，只在 $n = 1,2,3,\dots$ 这些点上取值，不能求导，也没法画成连续曲线.

设 $\{x_n\}$ 是一个数列，$a$ 是常数. 如果对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有

$$\lvert x_n - a \rvert < \varepsilon$$

则称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，称 $a$ 为它的极限，记作

$$\lim_{n\to\infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a\ (n \to \infty)$$

如果这样的常数 $a$ 不存在，就称数列 $\{x_n\}$ 发散.

几何意义#

$\lvert x_n - a\rvert < \varepsilon$ 等价于

$$a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon$$

也就是 $x_n$ 落在以 $a$ 为中心、半径为 $\varepsilon$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $U(a,\varepsilon)$ 内.

于是整个定义可以翻译成一句人话：不管把邻域取多窄，只要往后数足够多项，从某一项开始后面的项就全部挤进这个邻域里了. 前面有限项怎么乱都无所谓.

备注#

$\varepsilon$-$N$ 定义里的量词顺序是死的，只能这样读：

1. 别人随便给你一个 $\varepsilon$ —— 是任意的，可以要多小有多小；
2. 你要交出一个 $N$ —— 是存在的，只要找得到就行；
3. 交出的 $N$ 之后，所有项都满足 $\lvert x_n - a\rvert < \varepsilon$.

几个要记住的点：

• $\varepsilon$ 先给，$N$ 后找，所以 $N$ 一定依赖于 $\varepsilon$，严格写应记作 $N(\varepsilon)$.
• $N$ 不唯一，取大一点当然更成立.
• 定义只关心”某一项之后”，前有限项不影响极限.

工科考试里 $\varepsilon$-$N$ 定义主要出现在证明题，计算题几乎不碰. 所以下面给完定义，重心直接转到运算和准则上.

常用结论#

下面这些直接背，使用频率极高：

补充：当 $\lvert q\rvert > 1$ 或 $q = -1$ 时，$q^n$ 发散.

定理#

极限的唯一性 如果数列收敛，那么它的极限是唯一的.

收敛数列的有界性 如果 $\{x_n\}$ 收敛，那么 $\{x_n\}$ 有界，即存在 $M > 0$，使得对一切 $n$ 有

$$\lvert x_n \rvert \le M$$

保号性 如果 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，且 $a > 0$（或 $a < 0$），那么存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，

$$x_n > \frac{a}{2} > 0 \quad \left(\text{或 } x_n < \frac{a}{2} < 0\right)$$

子列性 如果 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，那么它的任意子列 $\{x_{n_k}\}$ 也都收敛于 $a$.

子列性几乎总是反过来用，也就是用它的逆否命题：只要找出两个收敛到不同极限的子列，或者找出一个发散的子列，就能立刻断定原数列发散. 这是判断”发散”最省力的手段，比用定义硬证快得多.

• $x_n = (-1)^n$：偶数项子列恒为 $1$，奇数项子列恒为 $-1$，两者极限不同，故发散.
• $x_n = \sin\frac{n\pi}{2}$：取 $n = 4k$ 与 $n = 4k+1$ 两个子列，分别收敛到 $0$ 和 $1$，故发散.

例题 1#

用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明

$$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2} = \frac{2}{3}$$

例题解答 1#

用定义证极限永远是倒着算的：先盯住 $\lvert x_n - a\rvert$，想办法把它放大成一个只含 $n$ 的量，再反解出 $n$ 至少要多大.

先化简再放缩：

$$\left\lvert \frac{2n+1}{3n+2} - \frac{2}{3} \right\rvert = \left\lvert \frac{3(2n+1) - 2(3n+2)}{3(3n+2)} \right\rvert = \frac{1}{3(3n+2)}$$

把分母缩小，分数就放大：

$$\frac{1}{3(3n+2)} < \frac{1}{3 \cdot 3n} = \frac{1}{9n}$$

要让 $\dfrac{1}{9n} < \varepsilon$，只需

$$n > \frac{1}{9\varepsilon}$$

于是取 $N = \left\lceil \dfrac{1}{9\varepsilon} \right\rceil$. 当 $n > N \ge \dfrac{1}{9\varepsilon}$ 时，

$$\left\lvert \frac{2n+1}{3n+2} - \frac{2}{3} \right\rvert < \frac{1}{9n} < \varepsilon$$

由定义，$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{3n+2} = \dfrac{2}{3}$.

固定流程：放缩 → 解不等式 → 取整得 $N$ → 正式回代一遍. 最后一步不能省，因为放缩的方向必须说清楚，否则写出的 $N$ 只是个巧合.

准则一：夹逼准则#

定理 如果存在正整数 $N_0$，当 $n > N_0$ 时有

$$y_n \le x_n \le z_n$$

且

$$\lim_{n\to\infty} y_n = \lim_{n\to\infty} z_n = a$$

那么 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$.

• 不等式只需要从某项开始成立，前面有限项不用管.
• 关键是”两边夹到同一个极限”，两边极限不相等时本准则失效.
• 工科里夹逼准则最大的用处是处理项数随 $n$ 变化的和式（这类和式不能拆成 $n$ 个极限相加）.

例题 2#

求

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)$$

例题解答 2#

和式共 $n$ 项，项数本身在变，不能拆成 $n$ 个极限相加. 标准做法是把每一项都替换成最小项和最大项，把整个和夹住.

最小项是 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}$，最大项是 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}$，于是

$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le S_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$

两边分别求极限：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1$$

两边极限相等，由夹逼准则，$S_n \to 1$.

准则二：单调有界准则#

定理 单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限.

• 本准则只保证极限存在，不告诉你极限等于多少. 要求值，得先设极限为 $a$，再在原递推式两边取极限解方程.
• 反过来，要证发散，只要说明它单调但无界.

例题 3#

设 $x_1 = \sqrt{2}$，且

$$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$$

证明 $\{x_n\}$ 收敛，并求其极限.

例题解答 3#

分三步：先证有界，再证单调，最后解方程求值.

（1）有界性 用数学归纳法证明 $x_n < 2$.

$x_1 = \sqrt{2} < 2$，成立. 设 $x_n < 2$，则

$$x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2$$

故对一切 $n$ 有 $0 < x_n < 2$，数列有界.

（2）单调性 各项均正，直接比较平方：

$$x_{n+1}^2 - x_n^2 = (2 + x_n) - x_n^2 = (2 - x_n)(1 + x_n)$$

由（1）知 $2 - x_n > 0$ 且 $1 + x_n > 0$，所以 $x_{n+1}^2 > x_n^2$，又 $x_n > 0$，故

$$x_{n+1} > x_n$$

数列单调递增.

（3）求极限 单调递增且有上界 $2$，由单调有界准则，极限存在，设为 $a$. 在 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$ 两边令 $n \to \infty$：

$$a = \sqrt{2 + a}$$

两边平方整理得

$$a^2 - a - 2 = 0$$

解得 $a = 2$ 或 $a = -1$. 因为 $x_n > 0$，所以 $a \ge 0$，舍去 $-1$，故

$$\lim_{n\to\infty} x_n = 2$$

这个例子可以当模板记：有界 → 单调 → 准则得存在 → 递推式取极限解方程. 关键在求值那一步必须先说明极限存在，否则直接设 $a$ 是没依据的.

练习#

1. 用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明

   $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2 + 1}{2n^2 + n} = \frac{1}{2}$$

2. 证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$. 提示：令 $\sqrt[n]{n} = 1 + h_n$（$h_n > 0$），把 $n = (1 + h_n)^n$ 用二项式展开，只保留含 $h_n^2$ 的那一项，把 $h_n$ 压住.

3. 讨论数列 $x_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n}$ 是否收敛. 提示：用子列性.

4. 设 $x_1 = 1$，$x_{n+1} = \sqrt{2x_n}$，证明 $\{x_n\}$ 收敛并求极限.

易错点#

暂时留空

极限的四则运算法则#

这是工科计算题的地基. 期末卷子上”求极限”的题，十有八九是先做初等变形，再用本节法则拆开算.

定理#

设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，$\lim\limits_{n\to\infty} y_n = b$（$a, b$ 都是有限数），则

$$\lim_{n\to\infty}(x_n \pm y_n) = a \pm b$$ $$\lim_{n\to\infty}(x_n y_n) = ab$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \qquad (b \neq 0,\ y_n \neq 0)$$

推论#

常数推论 设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，$c$ 为任意常数，则

$$\lim_{n\to\infty} c\,x_n = c \lim_{n\to\infty} x_n = ca$$

特别地，常数数列的极限等于它自身，且 $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n - a) = 0$. 这一条把”常数可以提到极限外面”合法化了，看到 $\lim(c \cdot \text{某式})$ 都可以先把 $c$ 摘出去.

幂推论 设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，$k$ 为正整数，则

$$\lim_{n\to\infty} x_n^k = a^k$$

更一般地，若 $a > 0$ 且 $k$ 为正整数，则

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{x_n} = \sqrt[k]{a}$$

有了幂推论，多项式极限可以逐项算：把每一项的极限求出来再相加就行，不必每次从头拆.

使用前提#

法则好用，但三个前提缺一不可，考卷上扣分多半就扣在这里：

1. 每个极限都必须存在且有限. 出现 $\infty$ 就不在本法则适用范围，得先变形；
2. 除法要求分母极限不为 $0$. 分母趋于 $0$ 时不能直接除，要先约分或通分；
3. 项数必须固定. 有限个数列相加可以逐项拆，但像 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ 这种项数随 $n$ 增长的和式，必须整体处理（回看夹逼准则）.

第 1 条最容易违反，典型的错误写法：

$$\lim_{n\to\infty}(n - n) = \lim_{n\to\infty} n - \lim_{n\to\infty} n$$

左边是 $0$，右边两个极限都不存在，等于把不存在的东西当数在算.

例题 1#

求

$$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - n + 4}$$

例题解答 1#

分子分母同除以最高次幂 $n^2$：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - n + 4} = \lim_{n\to\infty}\frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{5 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^2}}$$

由 $\dfrac{1}{n}\to 0$、$\dfrac{1}{n^2}\to 0$ 和四则运算法则，分子趋于 $3$，分母趋于 $5$，分母极限不为 $0$，故

$$\text{原式} = \frac{3}{5}$$

例题 2#

求

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right)$$

例题解答 2#

含根号差，先把分子有理化（同乘共轭式）：

$$\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = \sqrt{n} \cdot \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$$

分子分母同除以 $\sqrt{n}$：

$$\frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

所以原极限为 $\dfrac{1}{2}$.

技巧#

工科求数列极限，本质就一句话：先变形，使各项极限都存在，再用法则. 变形手段就那么几种，认题型即可：

1. 抓大放小（有理式） 分子分母同时除以最高次幂，低次项自动趋于 $0$. 更直接的结论：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_k n^k + a_{k-1}n^{k-1} + \dots + a_0}{b_m n^m + b_{m-1}n^{m-1} + \dots + b_0} = \begin{cases} 0, & k < m \\[6pt] \dfrac{a_k}{b_m}, & k = m \\[8pt] \infty, & k > m \end{cases}$$

比较分子分母最高次幂就能直接报答案，是名副其实的送分题.

2. 有理化 见到 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 型的差，同乘共轭 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$，把差挪到分母上去.

3. 通分 见到 $\infty - \infty$ 型的差，先通分合并成一个分式，再执行第 1 条.

4. 裂项相消 形如 $\sum \dfrac{1}{k(k+1)}$ 的和，先拆成

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$

求和后再取极限. 注意这类”有限项求和”可以先算出总和，再对结果用四则运算法则，并不违反前提 3.

5. 等比求和 用到

$$\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \qquad (q \neq 1)$$

再配合 $\lvert q\rvert < 1 \Rightarrow q^{n+1} \to 0$.

6. 无穷小乘有界量 无穷小乘以有界数列仍是无穷小. 例如

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n} = 0$$

因为 $\dfrac{1}{n}\to 0$ 是无穷小，$\lvert \sin n\rvert \le 1$ 有界. 这是处理 $0 \cdot \infty$ 型最便宜的办法.

7. 凑 $e$ 见到 $1^{\infty}$ 型（底数趋于 $1$、指数趋于 $\infty$），凑成 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} \to e$ 的标准形式. 详细做法放到”两个重要极限”一节.

易错点#

1. 无视前提乱拆：$\lim(n - n)$ 必须整体算出 $0$，拆开就错.
2. 分母为 $0$ 直接除：$y_n \to 0$ 时不能用法则，必须先约分、通分或有理化.
3. 项数随 $n$ 变还拆项：这类和式只能整体夹逼，那是夹逼准则的题，不是四则运算的题.
4. 把 $\infty$ 当数运算：$\infty - \infty$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$ 都是未定式，不是某个确定的数，不能加减乘除.
5. 漏验分母非零：$y_n \neq 0$ 是除法法则的附带条件，某些题目要说明”从第 $N$ 项起分母不为 $0$”.

函数极限#

数列极限盯的是 $n \to \infty$ 时 $x_n$ 往哪跑，函数极限盯的是 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时 $f(x)$ 往哪跑. 工科考试里求极限的题基本全出在函数极限这一块，所以本节是整章的主力.

定义#

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义. 如果存在常数 $A$，使得对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，当

$$0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta$$

时，恒有

$$\lvert f(x) - A \rvert < \varepsilon$$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A\ (x \to x_0)$$

三点必须咬住：

• 条件里那个"$0 <$"就是 $x \neq x_0$. 所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有没有定义、取什么值，都不影响极限.
• 结构和数列的 $\varepsilon$-$N$ 完全一样，只是把"$n > N$"换成了"$0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$"，把”往无穷远处跑”换成了”往 $x_0$ 附近挤”.
• $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$，记作 $\delta(\varepsilon)$.

左极限#

如果 $x$ 只从 $x_0$ 的左侧趋于 $x_0$（即 $x < x_0$）时 $f(x)$ 趋于 $A$，就称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限，记作

$$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^-) = A \quad \text{或} \quad f(x_0 - 0) = A$$

严格定义只需把 $0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$ 换成

$$x_0 - \delta < x < x_0$$

其余照搬.

右极限#

如果 $x$ 只从 $x_0$ 的右侧趋于 $x_0$（即 $x > x_0$）时 $f(x)$ 趋于 $A$，就称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限，记作

$$\lim_{x\to x_0^+} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^+) = A \quad \text{或} \quad f(x_0 + 0) = A$$

严格定义中把条件换成

$$x_0 < x < x_0 + \delta$$

左极限与右极限统称单侧极限.

定理#

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，当且仅当左极限与右极限都存在且相等，即

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A$$

备注#

这个定理是分段函数在分界点求极限的唯一入口. 碰到分界点不要试图整体求，直接分两半算再比较. 两条推论考试直接用：

• 左右极限存在但不相等 $\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 不存在；
• 左右极限中至少有一个不存在 $\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 也不存在.

完全一样的结论对 $x \to \infty$ 也成立：

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = A \iff \lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x) = A$$

例如 $f(x) = \arctan x$，$x \to +\infty$ 时趋于 $\dfrac{\pi}{2}$，$x \to -\infty$ 时趋于 $-\dfrac{\pi}{2}$，两者不等，所以 $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$ 不存在. 以后看到 $\lim\limits_{x\to\infty}$ 又含 $e^x$、$\arctan x$、$\sqrt{x^2}$ 这类在正负两侧表现不同的函数，先拆成 $+\infty$ 和 $-\infty$ 两个单侧.

例题 1#

设

$$f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 1 \\[4pt] x^2 + 1, & x \ge 1 \end{cases}$$

已知 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$ 存在，求 $a$ 及该极限值.

例题解答 1#

分界点是 $x = 1$，必须左右分开算，而且每侧只能用自己那一段的表达式.

左极限用 $x < 1$ 那一段（$2x + a$）：

$$\lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-}(2x + a) = 2 + a$$

右极限用 $x \ge 1$ 那一段（$x^2 + 1$）：

$$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+}(x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$$

已知极限存在，由定理必须有左极限 $=$ 右极限：

$$2 + a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 0$$

此时

$$\lim_{x\to 1} f(x) = 2$$

这种”已知极限存在，求参数”是工科期末和考研的高频题，套路固定：在分界点分别算左右极限 → 令两者相等 → 解出参数. 顺带说一句，把 $a$ 代回去后 $f(1)$ 取的是 $1^2 + 1 = 2$，恰好和极限相等，这时函数在 $x = 1$ 处连续（连续性下一节细说）.

例题 2#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\lvert x \rvert}{x}$$

例题解答 2#

绝对值函数的零点就是分界点，必须拆成 $x < 0$ 和 $x > 0$ 两半.

当 $x \to 0^-$ 时 $x < 0$，故 $\lvert x\rvert = -x$：

$$\lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert x\rvert}{x} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x} = -1$$

当 $x \to 0^+$ 时 $x > 0$，故 $\lvert x\rvert = x$：

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert x\rvert}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x} = 1$$

左极限 $-1$、右极限 $1$，两者不相等，故

$$\lim_{x\to 0}\frac{\lvert x \rvert}{x} \ \text{不存在}$$

注意这个函数在 $x \ne 0$ 处恒等于 $\pm 1$，图像是两条半直线，在 $y$ 轴两侧各跳一次，本来就不可能有双侧极限.

易错点#

暂时留空

函数极限的四则运算法则#

法则本身和上一节长得一模一样，但函数这边题型活得多. 数列只能靠 $n$ 的幂次比较，函数则要处理因式分解、有理化、通分、根号、参数，这才是工科卷子上真正拿分的地方.

定理#

设 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A$，$\lim\limits_{x\to x_0} g(x) = B$（$A, B$ 都是有限数），则

$$\lim_{x\to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B$$ $$\lim_{x\to x_0}[f(x)\,g(x)] = AB$$ $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \qquad (B \neq 0,\ g(x) \neq 0)$$

常数提取与幂次照旧：

$$\lim_{x\to x_0} c\,f(x) = cA, \qquad \lim_{x\to x_0}[f(x)]^{n} = A^{n}$$

同一套写法对 $x \to x_0^+$、$x \to x_0^-$、$x \to \infty$、$x \to \pm\infty$ 全部成立，不用另外记.

使用前提#

跟数列那节一样的三条，但函数这边多一道验型的动作：

1. 每个极限都必须存在且有限 —— 出现 $\infty$ 就不在适用范围内；
2. 分母极限不能为 $0$；
3. 先代入验型，再决定要不要变形 —— 代入后分母不为 $0$ 就直接得答案，不必瞎折腾.

所谓验型，就是把 $x_0$ 直接代进去看形式. 只有落到下面几种未定式才需要动手：

$$\frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad \infty - \infty,\quad 0 \cdot \infty,\quad 1^{\infty},\quad 0^{0},\quad \infty^{0}$$

前四类靠本节的手法解决，后三类（$1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$）本质是幂指函数，交给后面”两个重要极限”.

例题 1#

求

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2 + 1}{x + 3}$$

例题解答 1#

先代入验型：分子趋于 $5$，分母趋于 $5 \ne 0$. 不是未定式，由四则运算法则直接得

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2 + 1}{x + 3} = \frac{4 + 1}{2 + 3} = 1$$

这类”能代入就代入”的题在卷子上是送分的，别一看见分式就条件反射地变形.

例题 2#

求

$$\lim_{x\to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3}$$

例题解答 2#

代入得 $\dfrac{0}{0}$，是未定式，不能直接除. 分子因式分解：

$$\frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$$

关键一步：$x \to 3$ 的过程中恒有 $x \neq 3$，所以 $x - 3 \neq 0$，可以放心约掉：

$$\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x + 3) = 6$$

约分这一步的合法性完全建立在"$x \neq x_0$"上，写解答时点一句更稳.

例题 3#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$$

例题解答 3#

代入是 $\dfrac{0}{0}$. 见到根号减常数，直接分子有理化 —— 同乘共轭式 $\sqrt{1+x} + 1$：

$$\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{(1 + x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)}$$

约去 $x$：

$$= \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

例题 4#

求

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + 2x^2 - 1}$$

例题解答 4#

代入是 $\dfrac{\infty}{\infty}$. 分子分母同除以最高次幂 $x^3$：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2 - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}}{5 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^3}} = \frac{2 - 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{2}{5}$$

推广成结论，以后直接报答案：

$$\lim_{x\to\infty}\frac{a_k x^k + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0} = \begin{cases} 0, & k < m \\[6pt] \dfrac{a_k}{b_m}, & k = m \\[8pt] \infty, & k > m \end{cases}$$

例题 5#

求

$$\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$$

例题解答 5#

代入是 $\infty - \infty$，未定式. 有根号差就有理化，把差变成和：

$$\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}$$

分子分母同除以 $x$. 因为 $x \to +\infty$，有 $x > 0$，可以直接把 $x$ 放进根号：

$$= \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

如果题目问的是 $x \to -\infty$，情况完全不同：此时 $\sqrt{x^2+x} \approx \lvert x\rvert - \dfrac{1}{2} = -x - \dfrac{1}{2}$，而 $-x \to +\infty$，两者同号相加，结果是 $+\infty$，极限不存在. 这正是上一节”看到 $\infty$ 先拆 $+\infty$、$-\infty$“的用处.

例题 6#

求

$$\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1}\right)$$

例题解答 6#

代入是 $\infty - \infty$. 两个分式相减，先通分合并成一个分式：

$$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = \frac{x + 1}{x^2 - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)}$$

约去 $x - 1$：

$$= \frac{1}{x + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

通分之后问题自动降级成 $\dfrac{0}{0}$ 型，这就是”$\infty - \infty$ 先通分”的意义.

例题 7#

已知

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$$

求 $a$ 与 $b$.

例题解答 7#

这是含参数的反问题. 突破口在分母：$x \to 1$ 时分母趋于 $0$，而整个分式的极限却存在且有限，那么分子必须同时趋于 $0$ —— 否则分式会跑向无穷大. 于是

$$1 + a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1 - a$$

把 $b$ 代回分子，因为分母是 $x - 1$，分子必然含 $x - 1$ 这个因式，直接分解：

$$x^2 + ax - a - 1 = (x - 1)(x + a + 1)$$

验算：$(x-1)(x+a+1) = x^2 + (a+1)x - x - (a+1) = x^2 + ax - a - 1$，与分子一致.

于是

$$\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x + a + 1)}{x - 1} = \lim_{x\to 1}(x + a + 1) = a + 2$$

由题设 $a + 2 = 3$，得

$$a = 1, \qquad b = -1 - 1 = -2$$

回代检验：$\dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x + 2 \to 3$，正确.

技巧#

按这个顺序判断，基本不会走错：

三条附加提醒：

• 约分的前提是 $x \neq x_0$，而这个前提由极限过程本身保证，所以放心约.
• 有理化的方向：分子有根号差就乘分子，分母有根号差就乘分母，目标都是把差变成和.
• $x \to \infty$ 时开根号要带绝对值：$\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$，若 $x \to -\infty$ 就是 $-x$. 这个符号一错，整道题全废.

易错点#

暂时留空

两个重要极限#

前面几种手法（四则运算、因式分解、有理化、通分）只能处理”代数型”的极限. 剩下两大类必须单独记：

• 含三角函数的 $\dfrac{0}{0}$ 型 —— 靠第一个重要极限；
• 幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ —— 靠第二个重要极限.

这两个式子要背到条件反射，因为后面的等价无穷小、洛必达、甚至导数公式全都架在它们上面.

第一个重要极限#

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

三个要点：

• 前提是弧度制. 角度制下这个极限等于 $\dfrac{\pi}{180}$，公式不成立.
• 分母和 $\sin$ 里面的角必须完全一样，而且那个角趋于 $0$. 也就是 $$\lim_{\Box \to 0}\frac{\sin \Box}{\Box} = 1$$ 这里的 $\Box$ 可以是任意趋于 $0$ 的表达式，$3x$、$x^2$、$\sin x$ 都行.
• 它是 $\dfrac{0}{0}$ 型，但极限值是 $1$，不是 $0$.

例题 1#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$$

例题解答 1#

现在分母是 $x$、角是 $3x$，不同. 硬凑 —— 分子分母同乘 $3$：

$$\frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$$

令 $\Box = 3x$，则 $\Box \to 0$，由第一个重要极限 $\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 1$，故

$$\text{原式} = 3\cdot 1 = 3$$

凑结构是这一类题的全部技巧：分子里有 $\sin$ 什么，分母就凑成什么.

例题 2#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2}$$

例题解答 2#

分子里没有 $\sin$，先把它变出来. 用半角公式 $1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$：

$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2}$$

再把分母凑成角的平方，记 $\dfrac{x}{2} = t$ 即 $x^2 = 4t^2$：

$$= \frac{2\sin^2 t}{4t^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2}$$

由 $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$，得

$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

这条要背下来，后面等价无穷小里的 $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$ 就是它.

例题 3#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$$

例题解答 3#

拆成正弦和余弦：

$$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$$

由 $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$，又 $\cos x \to 1 \neq 0$，四则运算法则给出

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1\cdot\frac{1}{1} = 1$$

常用结论#

下面这些都由两个重要极限直接推出来，做题时当公式用：

后两条相当于把第二个重要极限取了反函数，下一节系统整理等价无穷小时还会再见到.

第二个重要极限#

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e$$

令 $t = \dfrac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，得到等价写法

$$\lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t} = e$$

结构特征是 $1^{\infty}$ 型：底数趋于 $1$，指数趋于 $\infty$，而且底里的那个无穷小恰好和指数互为倒数.

使用公式#

考试不会直接给你 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$，都得先凑. 把上面两条合并成一条通用公式：

若 $\lim u(x) = 0$，且 $\lim u(x)\,v(x) = A$，则

$$\lim\left[1 + u(x)\right]^{v(x)} = e^{A}$$

用法就一句话：把底写成 $1 + u$（$u$ 是那个无穷小），把指数 $v$ 乘上 $u$，这个乘积的极限放到 $e$ 的肩上.

证明思路（略）：$\left[1+u\right]^{v} = e^{v\ln(1+u)}$，而 $u \to 0$ 时 $\ln(1+u)\sim u$，所以 $v\ln(1+u)$ 与 $vu$ 同极限.

例题 4#

求

$$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x}$$

例题解答 4#

底已经是 $1 + u$ 形式，其中 $u = \dfrac{2}{x}\to 0$，指数 $v = x$. 算乘积：

$$uv = \frac{2}{x}\cdot x = 2$$

故

$$\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2}$$

也可以硬凑标准形：$\left[\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x/2}\right]^{2}$，中括号里趋于 $e$，外层平方得 $e^2$，结果一致.

例题 5#

求

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}$$

例题解答 5#

第一步把底化成 $1 + u$，做多项式除法（或减一项加一项）：

$$\frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1) + 2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$$

于是 $u = \dfrac{2}{x-1}\to 0$，$v = x$，

$$uv = \frac{2x}{x-1} \longrightarrow 2$$

所以

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = e^{2}$$

看到 $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 型的底，一律先拆成 $1 + \dfrac{\text{常数}}{\text{分母}}$，这是固定动作.

例题 6#

求

$$\lim_{x\to 0}(1 + 3x)^{1/x}$$

例题解答 6#

$u = 3x \to 0$，$v = \dfrac{1}{x}$，

$$uv = 3x\cdot\frac{1}{x} = 3$$

故

$$\lim_{x\to 0}(1+3x)^{1/x} = e^{3}$$

幂指函数与另外三种未定式#

前面”使用前提”里列了七种未定式. 四则运算那节解决了 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$\infty - \infty$、$0\cdot\infty$ 四种，剩下的 $1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$ 全部是幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 的问题，靠取对数统一处理.

任何幂指函数都可以改写成指数形式：

$$\left[u(x)\right]^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)}$$

于是求极限变成求指数上的极限：

$$\lim \left[u(x)\right]^{v(x)} = e^{\lim v(x)\ln u(x)}$$

（这里用到 $e^{t}$ 的连续性，可以这样把极限搬进指数里.）

关键在于，这三种未定式化过去之后全都是同一种形状：

三种变一种，全部落到 $0\cdot\infty$ 型，再用”化分式 + 等价无穷小”处理. 这一句话就是 $1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 的统一解法：不用分别记三套，只记”取对数 → 变 $0\cdot\infty$ → 化简”.

其中 $1^{\infty}$ 出现频率最高，可以在统一解法上再偷一步懒：底为 $1+u$ 时 $\ln(1+u)\sim u$，所以

$$\lim\left[1+u\right]^{v} = e^{\lim uv}$$

不用真的把 $\ln$ 写出来.

例题 7#

求

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2}$$

例题解答 7#

$1^{\infty}$ 型. 底数拆成 $1 + u$：

$$\frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{(x^2-1) + 2}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2-1}$$

$u = \dfrac{2}{x^2-1}$，$v = x^2$，

$$uv = \frac{2x^2}{x^2-1} \longrightarrow 2$$

故

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2} = e^{2}$$

例题 8#

求

$$\lim_{x\to 0}\left(\cos x\right)^{1/x^2}$$

例题解答 8#

$x \to 0$ 时 $\cos x \to 1$，指数 $\dfrac{1}{x^2}\to\infty$，是 $1^{\infty}$ 型.

把底写成 $1 + u$，其中 $u = \cos x - 1 \to 0$，$v = \dfrac{1}{x^2}$：

$$uv = \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1-\cos x}{x^2}$$

本节例题 2 已经算出 $\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac{1}{2}$，所以

$$uv \longrightarrow -\frac{1}{2}$$

故

$$\lim_{x\to 0}\left(\cos x\right)^{1/x^2} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$

这题的关键是把 $\cos x$ 整体看成一个趋于 $1$ 的底，而不是跑去凑 $\cos x$ 本身.

例题 9#

求

$$\lim_{x\to 0^{+}}x^{x}$$

例题解答 9#

底趋于 $0$、指数也趋于 $0$，是 $0^{0}$ 型. 化成指数形式：

$$x^{x} = e^{x\ln x}$$

指数上要算 $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$，这是 $0\cdot(-\infty)$ 型. 换元 $x = e^{t}$（$t\to -\infty$）：

$$x\ln x = e^{t}\cdot t = te^{t} \longrightarrow 0$$

（幂函数衰减比对数快，这一步是标准结论，证明略.）于是

$$\lim_{x\to 0^{+}}x^{x} = e^{0} = 1$$

注意只讨论 $x \to 0^+$：$x^x$ 在 $x < 0$ 时一般没有定义.

例题 10#

求

$$\lim_{x\to +\infty}x^{1/x}$$

例题解答 10#

底趋于 $+\infty$、指数趋于 $0$，是 $\infty^{0}$ 型. 化成指数形式：

$$x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$$

指数上

$$\frac{\ln x}{x} \longrightarrow 0$$

（同样是对数比幂函数慢，证明略.）故

$$\lim_{x\to +\infty}x^{1/x} = e^{0} = 1$$

顺带记一句：数列里的 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$ 就是这题的数列版，本质是同一个结论.

技巧#

两条操作纪律：

• 先判型再动手. $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 长得像，但只有前者有"$e^{\lim uv}$"这条捷径.
• 一定先写成 $e^{(\cdot)}$ 再算指数，别把 $e$ 和指数混在一起变形，容易丢项.

易错点#

暂时留空

无穷小量与无穷大量#

极限讨论的是”趋于某个值”的过程. 其中有两类过程地位特殊，值得单独拎出来：一类趋于 $0$，一类绝对值无限增大. 它们就是无穷小量与无穷大量. 后面的等价无穷小替换、洛必达法则、以至于级数的敛散判别，全都建立在它们身上.

定义（无穷小量）#

如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的极限为 $0$，即

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = 0$$

则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小量，简称无穷小.

三点必须说清楚：

• 无穷小是”以 $0$ 为极限的变量”，不是一个很小的数. $10^{-100}$ 再小也是常数，它的极限是它自身而不是 $0$，所以不是无穷小.
• $0$ 是唯一可以作为无穷小的常数，因为 $\lim 0 = 0$ 恒成立.
• 说”无穷小”必须带过程. $x$ 在 $x \to 0$ 时是无穷小，但在 $x \to 1$ 时就不是. 单说”$x$ 是无穷小”没有意义.

定理#

无穷小与极限的关系 这是整节最有用的一条：

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x),\quad \text{其中 } \alpha(x) \text{ 是无穷小}$$

也就是**”$f$ 趋于 $A$“和”$f$ 与 $A$ 只差一个无穷小”是同一件事**. 证明略，把定义里的 $f(x) - A$ 记成 $\alpha(x)$ 就出来了.

无穷小的运算性质 设 $\alpha, \beta$ 都是同一过程下的无穷小：

• 有限个无穷小的和仍是无穷小；
• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；
• 常数与无穷小的乘积仍是无穷小；
• 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小（这条最常用）.

“有限个”三个字不能丢：无穷多个无穷小相加，结果可以是任何东西.

备注#

两个无穷小的商不一定是无穷小，甚至不一定有极限. 在 $x \to 0$ 时，$x$、$x^{2}$、$\sin x$ 全都是无穷小，可它们的比值行为完全不同：

$$\frac{x^{2}}{x}\to 0,\qquad \frac{x}{x} = 1,\qquad \frac{\sin x}{x}\to 1$$

这就引出了后面的”无穷小的比较”—— 比较的正是两个无穷小趋零的快慢.

定义（无穷大量）#

如果对任意给定的 $M > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$ 时恒有

$$\lvert f(x)\rvert > M$$

则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷大量，记作

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = \infty$$

• 无穷大不是数，只是一个记号，表示 $\lvert f(x)\rvert$ 可以任意大. 所以不能拿 $\infty$ 去做四则运算.
• 严格说此时极限不存在，“极限是 $\infty$“只是一种方便的写法，表示它发散的方式.
• 若只关心方向（例如 $1/x^{2}$ 恒正），要写 $+\infty$ 或 $-\infty$，不能笼统写 $\infty$.

定理#

无穷小与无穷大的关系 在同一过程中，若 $f(x) \neq 0$，则

$$f(x) \text{ 是无穷大} \iff \frac{1}{f(x)} \text{ 是无穷小}$$

这是处理无穷大最省力的办法：取个倒数就变成无穷小，前面所有关于无穷小的结论立刻能用. 证明略，直接套定义.

还有一个几何副产品：若 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \infty$，则直线 $x = x_0$ 是曲线 $y = f(x)$ 的竖直渐近线.

例题 1#

求

$$\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x}$$

例题解答 1#

拆成两个因子的乘积看：

• $x \to 0$，所以 $x$ 是无穷小；
• $\left\lvert \sin\dfrac{1}{x}\right\rvert \le 1$，所以 $\sin\dfrac{1}{x}$ 是有界函数（注意它在 $x \to 0$ 时连极限都不存在，但有界这一点就够了）.

由”有界函数 × 无穷小 = 无穷小”，

$$\lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0$$

这题的价值在于：$\sin\dfrac{1}{x}$ 本身发散，可被无穷小一压，整体还是趋于 $0$. 以后见到”有界振荡 × 趋于 $0$“，直接套这条，不要去研究振荡部分.

例题 2#

讨论 $f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ 在 $x \to 1$ 时的性态，并写出渐近线.

例题解答 2#

$x \to 1$ 时 $x - 1 \to 0$，且 $(x-1)^{2} > 0$，于是它的倒数趋于 $+\infty$：

$$\lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^{2}} = +\infty$$

所以 $x \to 1$ 时 $f(x)$ 是无穷大量. 由上面的定理，直线

$$x = 1$$

是曲线 $y = \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ 的竖直渐近线.

这里写 $+\infty$ 而不写 $\infty$：$(x-1)^{2}$ 在两侧都为正，倒数是单向发散的.

无穷小的比较#

同在 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）的过程中，设 $\alpha, \beta$ 都是无穷小，且 $\beta \neq 0$. 考察比值 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的极限，就能分出趋零的快慢：

口诀：比值趋 $0$ 是高阶（分子掉得快），比值趋 $\infty$ 是低阶（分子掉得慢）. 这是最容易记反的一处，建议直接记”比值是谁就是谁”.

若存在 $k > 0$ 使得

$$\lim\frac{\alpha}{\beta^{k}} = c \neq 0$$

则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小. 例如 $\alpha = 1 - \cos x$ 与 $\beta = x$，因为 $\lim\dfrac{1-\cos x}{x^{2}} = \dfrac{1}{2} \neq 0$，所以 $1-\cos x$ 是 $x$ 的二阶无穷小.

常用等价无穷小#

以下全部是 $x \to 0$ 时的等价无穷小，做题时直接替换：

前五条在”两个重要极限”那节已经处理过；最后两行要靠泰勒展开，等学到那一章再补证明；其余用前面的极限或后面洛必达都很快能得.

定理（等价无穷小替换）#

设 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，且 $\lim\dfrac{\alpha'}{\beta'}$ 存在，则

$$\lim\frac{\alpha}{\beta} = \lim\frac{\alpha'}{\beta'}$$

也就是说，乘除因子可以整体替换成它的等价无穷小，极限值不变. 这一条能把一大批 $\dfrac{0}{0}$ 型题目瞬间化简，是提速的主力工具.

备注#

加减项不能随便替换. 替换只对乘除因子成立. 下面是经典反例：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}$$

如果错把分子两项都换成 $x$，得到 $\dfrac{x - x}{x^{3}} = 0$，答案是错的（正确结果见例题 5）.

原因在于：$\tan x - \sin x$ 里的两个主项 $x$ 恰好抵消，真正起作用的是它们各自的高阶部分. 一抵消，低阶信息就没了，这时候替换等于把有效信息直接扔掉.

例题 3#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + 3x)}{\sin 2x}$$

例题解答 3#

分子分母都是独立的乘除因子，分别替换：

• $x \to 0$ 时 $3x \to 0$，故 $\ln(1+3x) \sim 3x$；
• $2x \to 0$，故 $\sin 2x \sim 2x$.

于是

$$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$

替换时要把整个括号当成一个 $u$：$\ln(1+3x)$ 里的 $u = 3x$，不能写成 $\ln(1+3x) \sim x$ 这种丢系数的东西.

例题 4#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x\sin x}$$

例题解答 4#

分母是两个因子相乘，$x\sin x$ 可整体换成 $x \cdot x = x^{2}$；分子用 $1-\cos x \sim \dfrac{x^{2}}{2}$：

$$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{x^{2}}{2}}{x \cdot x} = \frac{1}{2}$$

例题 5#

求

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}$$

例题解答 5#

这就是上面那个反例. 加减项不能直接替换，先提公因式，把减法变成乘法：

$$\tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x\left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x\cdot\frac{1 - \cos x}{\cos x}$$

现在整体是三个因子相乘，每个都能单独处理：

• $\sin x \sim x$；
• $1 - \cos x \sim \dfrac{x^{2}}{2}$；
• $\cos x \to 1$，极限为 $1$，可直接代换.

于是

$$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} = \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}\cdot\frac{1}{1} = \frac{1}{2}$$

这一步的心法是”提公因式，化减为乘”：只要把减法拆成乘除结构，替换就重新合法了.

例题 6#

当 $x \to 0$ 时，判断 $\alpha = 1 - \cos x$ 与 $\beta = x^{2}$ 的关系.

例题解答 6#

直接算比值：

$$\lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2}$$

极限是一个非零常数 $\dfrac{1}{2}$，所以两者同阶；又因为常数不等于 $1$，所以不等价.

顺带一句：若把 $\beta$ 换成 $\dfrac{x^{2}}{2}$，则比值极限为 $1$，这时才叫等价. 等价必同阶，同阶不一定等价 —— 等价是同阶里最”像”的那一档.

技巧#

易错点#

暂时留空

连续函数#

连续性是极限最直接的一个应用. 这一章本身内容不多，真正会考的其实只有两处：间断点的分类，以及做题时离不开的双曲函数. 下面按这个重心写.

定义#

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义. 如果

$$\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$$

则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续.

这一个式子其实压了三件事，缺一不可：

1. $f(x_0)$ 有定义（$x_0$ 属于定义域）；
2. $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 存在且为有限数；
3. 两者相等.

任何一条不满足，就叫不连续，那个点就是下一节的”间断点”.

等价的增量写法：记 $\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则连续等价于

$$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0$$

也就是”自变量的微小变化只引起函数的微小变化”.

左连续与右连续：

$$\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0) \quad (\text{左连续}), \qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0) \quad (\text{右连续})$$

由左右极限与极限的关系，立刻得到

$$f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 既左连续又右连续}$$

定理#

连续函数的运算 两个在 $x_0$ 连续的函数，其和、差、积、商（分母不为 $0$）在 $x_0$ 处仍连续；连续函数的复合仍连续.

初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都连续.

第二条是求极限时”直接代入”的合法依据：只要 $x_0$ 落在定义区间内、又不是分段的分界点，就可以把 $x_0$ 代进去算. 前面几节所有”直接代入”的操作，背后都是这个定理.

间断点#

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点.

判别完全靠左右极限，按”左右极限是否都存在”分成两大类：

口诀：第一类看左右极限在不在，第二类看它们是不是数. 只要有一侧不是有限数，直接归第二类，不用再比大小.

两点补充：

• 可去间断点这名字有来历：只要重新定义 $f(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$，函数在这里立刻变连续，这个洞是能补上的.
• 跳跃间断点在图像上就是一个断开的台阶，跳多高就是左右极限之差.

例题 1#

讨论 $f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性.

例题解答 1#

先算极限：

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2$$

极限存在且为 $2$. 但 $x = 1$ 时原式分母为 $0$，$f(1)$ 无定义，第 1 条就不满足.

所以 $x = 1$ 是可去间断点. 补充定义 $f(1) = 2$ 之后，函数就在 $x = 1$ 连续了.

例题 2#

讨论 $f(x) = \dfrac{\lvert x \rvert}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

例题解答 2#

分左右算（结论来自「函数极限」那一节）：

$$\lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert x\rvert}{x} = -1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert x\rvert}{x} = 1$$

左右极限都存在且是有限数，属于第一类；两者不相等，所以是跳跃间断点. 跳跃幅度为

$$1 - (-1) = 2$$

例题 3#

讨论 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

例题解答 3#

$$\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty$$

两侧都趋于无穷，不是有限数，所以是第二类中的无穷间断点. 直线 $x = 0$ 同时也是它的竖直渐近线（呼应「无穷小量与无穷大量」那一节）.

例题 4#

讨论 $f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

例题解答 4#

$x \to 0$ 时 $\dfrac{1}{x}\to\infty$，$\sin$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间无限次往返振荡，极限既不存在、也不是无穷大.

所以是第二类中的振荡间断点.

这里要和例题 3 之外的另一个东西区分开：$x\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时极限存在（等于 $0$），而 $\sin\dfrac{1}{x}$ 不存在. 多乘了一个 $x$，无穷小就把振荡压住了 —— 这正是「无穷小量与无穷大量」里”有界 × 无穷小”的用处.

例题 5#

设

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\[6pt] a, & x = 1 \end{cases}$$

问 $a$ 取何值时 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续.

例题解答 5#

由例题 1，

$$\lim_{x\to 1} f(x) = 2$$

而 $f(1) = a$. 连续的充要条件是两者相等，故

$$a = 2$$

这类”补参数使之连续”的题，套路固定：先算该点的极限，再令它等于函数值. 如果题设只说”在 $x=1$ 处是可去间断点”，那只要保证极限存在就够了，不必等于函数值.

技巧#

易错点#

暂时留空

双曲函数#

双曲函数在考纲里不算显眼，但它是”万能换算器”：把 $e^{x}$ 与 $e^{-x}$ 的固定组合打包成一个名字，积分、微分方程、悬链线问题里出现频率极高. 这一节当速查表用.

定义#

$$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$$ $$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}, \qquad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$$

中文名依次是双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切.

名字里的”双曲”来自参数方程

$$x = \cosh t,\quad y = \sinh t \quad \Longrightarrow \quad x^{2} - y^{2} = 1$$

它们是双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的右支，和 $\cos t$、$\sin t$ 参数化单位圆完全对应. 另外 $y = \cosh x$ 就是物理里的悬链线（两端固定的均匀链条自然下垂的形状）.

性质#

$\coth x$ 的定义域要去掉 $x = 0$，值域为 $(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)$.

基本恒等式#

最核心的一条，相当于双曲线的”勾股定理”：

$$\cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1$$

由它立刻得到

$$1 - \tanh^{2} x = \frac{1}{\cosh^{2} x}, \qquad \coth^{2} x - 1 = \frac{1}{\sinh^{2} x}$$

和角公式（注意 $\cosh$ 那条的符号是 $+$，与 $\cos$ 的公式正好相反）：

$$\sinh(x \pm y) = \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y$$ $$\cosh(x \pm y) = \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y$$ $$\tanh(x \pm y) = \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x\tanh y}$$

倍角公式：

$$\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$$ $$\cosh 2x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = 2\cosh^{2} x - 1 = 2\sinh^{2} x + 1$$

导数公式#

先列出来当速查，Part 2 再正式推：

$$(\sinh x)' = \cosh x, \qquad (\cosh x)' = \sinh x$$ $$(\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^{2} x}, \qquad (\coth x)' = -\frac{1}{\sinh^{2} x}$$

对比三角函数 $(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$，口诀是：双曲求导比三角少一个负号，唯一例外是 $\coth$.

反双曲函数#

$$\operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right), \qquad x \in \mathbb{R}$$ $$\operatorname{arcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right), \qquad x \ge 1$$ $$\operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}, \qquad \lvert x \rvert < 1$$

这三条在算 $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$、$\displaystyle\int\frac{dx}{a^{2} - x^{2}}$ 一类积分时就是标准答案的形式，直接背.

常用极限#

全部是把双曲函数换成 $e^{x}$ 的组合，再用”两个重要极限”那节的结论得到的：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sinh x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tanh x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\cosh x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{2}$$ $$\lim_{x\to +\infty}\tanh x = 1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\tanh x = -1$$

前三条可以直接当等价无穷小用（$x \to 0$）：

$$\sinh x \sim x, \qquad \tanh x \sim x, \qquad \cosh x - 1 \sim \frac{x^{2}}{2}$$

注意 $\tanh x$ 在 $x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 的极限不同，所以 $\lim\limits_{x\to\infty}\tanh x$ 不存在（回看「函数极限」那节关于 $x\to\infty$ 的判据）.

技巧#

易错点#

暂时留空