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English Listening Words

English Listening Words（表格版）

来源：English Listening Words_typing.md｜日期：2026.11.2｜共 34 个词条

说明：动名词 (-ing) 列只对动词有效；非动词词条标注「—（非动词）」。动词三态 按「原形 – 过去式 – 过去分词」排列，非动词则给复数或相关派生形式。

一、词表总表

| # | 单词 / 短语 | 词性 | 中文意思 | 动名词 (-ing) | 动词三态 / 其他形态 | 搭配与备注 | |---|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:|---| | 1 | correspond | v. | 符合、一致；通信 | corresponding | correspond – corresponded – corresponded | correspond to/with 与…相符。原文标注「adj. 相应的」有误：本词是动词，形容词应为 corresponding | | 2 | wire | n. / v. | n. 电线；电报　v. 接电线；电汇 | wiring | wire – wired – wired；复数 wires | wire transfer 电汇 | | 3 | assume | v. | 假定，以为；承担；呈现 | assuming | assume – assumed – assumed | assume that…；assume responsibility 承担责任 | | 4 | sequence | n. | 顺序，序列；一连串 | sequencing（作动词“排序”时，罕用） | 复数 sequences | in sequence 依次；a sequence of events | | 5 | manual | adj. / n. | adj. 手工的，体力的　n. 手册，说明书 | —（非动词） | 复数 manuals | manual labour 体力劳动 | | 6 | cooperate | v. | 合作，配合 | cooperating | cooperate – cooperated – cooperated | cooperate with sb. 与某人合作 | | 7 | literally | adv. | 字面上地；确实地，简直 | —（非动词） | literal（形）→ literally（副） | 口语中常用来加强语气，相当于“简直” | | 8 | would rather do | 短语 | 宁愿做某事 | —（情态短语，后接动词原形） | would rather do A than do B | would rather sb. did sth. 宁愿某人做某事 | | 9 | embarrassed | adj. | 尴尬的，窘迫的（修饰人） | 源自动词 embarrass；其 -ing 形式 embarrassing＝令人尴尬的 | embarrass – embarrassed – embarrassed | be embarrassed about/by；-ed 修饰人，-ing 修饰物 | | 10 | consequence | n. | 结果，后果；重要性 | —（非动词） | 复数 consequences | as a consequence of 由于；in consequence 因此 | | 11 | insist | v. | 坚持（说），坚决要求 | insisting | insist – insisted – insisted | insist on doing sth.；insist that… | | 12 | declaration | n. | 宣言，声明；申报（单） | —（非动词） | 复数 declarations；动词 declare | the Declaration of Independence 独立宣言 | | 13 | deliberately | adv. | 故意地，蓄意地；从容地 | —（非动词） | deliberate（形/动）→ deliberately（副） | 反义 accidentally 偶然地 | | 14 | escape | v. / n. | 逃跑，逃脱；逃避；泄漏 | escaping | escape – escaped – escaped | 原文拼作 escpade，正确拼写为 escape；escape from 从…逃走 | | 15 | artificial | adj. | 人造的，人工的；虚假的 | —（非动词） | 副词 artificially | artificial intelligence 人工智能 | | 16 | neglect | v. / n. | 忽视，疏忽；未照料 | neglecting | neglect – neglected – neglected | neglect to do sth. 疏忽没做；neglect doing 放任不做 | | 17 | eternally | adv. | 永恒地，永远地 | —（非动词） | eternal（形）→ eternally（副） | 近义 forever | | 18 | grateful | adj. | 感激的，感谢的 | —（非动词） | 名词 gratitude | be grateful to sb. for sth. | | 19 | priority | n. | 优先；优先事项 | —（非动词） | 复数 priorities | take priority over 优先于；top priority 头等大事 | | 20 | definitely | adv. | 肯定地，明确地；当然 | —（非动词） | definite（形）→ definitely（副） | 口语中表示强烈同意：“当然！” | | 21 | patriotism | n. | 爱国主义，爱国心 | —（非动词） | 形容词 patriotic；名词 patriot 爱国者 | 与第 22 条同根 | | 22 | patriotic | adj. | 爱国的 | —（非动词） | 名词 patriotism | patriotic songs 爱国歌曲 | | 23 | used to be | 短语 | 过去曾经是 | —（情态短语，后接动词原形） | used to + 动词原形 | 注意区别 be used to doing 习惯于做 | | 24 | notification | n. | 通知，通告；通知单 | —（非动词） | 复数 notifications；动词 notify | push notification 推送通知 | | 25 | announcement | n. | 公告，宣告；通知 | —（非动词） | 复数 announcements；动词 announce | make an announcement 发布公告 | | 26 | possess | v. | 拥有，具有；支配（情绪） | possessing | possess – possessed – possessed | be possessed of 拥有；名词 possession | | 27 | implement | v. / n. | v. 实施，执行　n. 工具，器具 | implementing | implement – implemented – implemented；复数 implements | implement a policy 落实政策 | | 28 | massive | adj. | 巨大的，大量的；严重的 | —（非动词） | 副词 massively | a massive amount of 大量的 | | 29 | ethical | adj. | 道德的，合乎伦理的 | —（非动词） | 名词 ethics 伦理学；反义 unethical | ethical issue 伦理问题 | | 30 | pathetic | adj. | 可怜的，可悲的；差劲的 | —（非动词） | 副词 pathetically | 口语中常含贬义“太烂了” | | 31 | apparently | adv. | 显然；据说，看来 | —（非动词） | apparent（形）→ apparently（副） | 句首常用作插入语“看来…” | | 32 | jealous | adj. | 嫉妒的，吃醋的 | —（非动词） | 名词 jealousy | be jealous of sb. 嫉妒某人 | | 33 | impressive | adj. | 令人印象深刻的（修饰物/事） | 源自动词 impress；impressing 很少用 | impress – impressed – impressed | impressive 修饰物，impressed 修饰人（be impressed by） | | 34 | infinity | n. | 无限，无穷；无穷大 | —（非动词） | 复数 infinities；形容词 infinite | 符号 ∞；to infinity 直到无限 |

English Words

English Words（四级词汇 · 表格版）

来源：English Words_typing.md｜日期：2026.11.2｜共 139 个词条

说明：动名词 (-ing) 列只对动词有效，非动词词条标注「—（非动词）」；动词三态 按「原形 – 过去式 – 过去分词」排列，非动词则给复数或相关派生形式。本表词条多为同根词族（如 partial / portion / proportion），「搭配与备注」列已标出同族关系，建议成组记忆。

一、词表总表

| # | 单词 / 短语 | 词性 | 中文意思 | 动名词 (-ing) | 动词三态 / 其他形态 | 搭配与备注 | |---|---|---|---|---|---|---| | 1 | partial | adj. | 部分的；偏袒的，偏爱的 | —（非动词） | 副词 partially | be partial to 偏爱；同族 portion / proportion | | 2 | portion | n. / v. | n. 部分，一份　v. 分配 | portioning | portion – portioned – portioned；复数 portions | a portion of 一部分 | | 3 | proportion | n. | 比例，比重；部分 | proportioning | proportion – proportioned – proportioned；复数 proportions | in proportion to 与…成比例 | | 4 | apart | adv. | 分开地；相隔 | —（非动词） | 短语 apart from | apart from 除…之外；fall apart 崩溃 | | 5 | depart | v. | 离开，出发；背离 | departing | depart – departed – departed | depart from 离开／背离；名词 departure | | 6 | departure | n. | 离开，出发；背离 | —（非动词） | 复数 departures；动词 depart | departure lounge 候机室 | | 7 | revise | v. | 修订，修改；复习 | revising | revise – revised – revised | revise for an exam 复习备考；名词 revision | | 8 | supervise | v. | 监督，管理，指导 | supervising | supervise – supervised – supervised | 名词 supervision；supervisor 主管 | | 9 | devise | v. | 设计，发明，想出 | devising | devise – devised – devised | devise a plan；名词 device 装置（勿混） | | 10 | evident | adj. | 明显的，显然的 | —（非动词） | 副词 evidently | It is evident that…；名词 evidence | | 11 | evidence | n. | 证据，证明；迹象 | —（非动词） | 不可数名词 | in evidence 显眼；evidence of/for | | 12 | provision | n. | 供给，提供；条款；储备 | —（非动词） | 复数 provisions；动词 provide | make provision for 为…做准备 | | 13 | witness | n. / v. | n. 目击者，证人　v. 目击，见证 | witnessing | witness – witnessed – witnessed；复数 witnesses | a witness to sth. 某事的见证人 | | 14 | commitment | n. | 承诺；投入，献身；义务 | —（非动词） | 复数 commitments；动词 commit | make a commitment 作出承诺 | | 15 | commission | n. / v. | n. 佣金；委员会　v. 委托 | commissioning | commission – commissioned – commissioned | out of commission 坏了／停用 | | 16 | considerable | adj. | 相当多的，相当大的 | —（非动词） | 副词 considerably | a considerable amount of；与 considerate 易混 | | 17 | considerate | adj. | 体贴的，考虑周到的 | —（非动词） | 名词 consideration | be considerate of sb.；与 considerable 易混 | | 18 | vanish | v. | 消失，突然不见 | vanishing | vanish – vanished – vanished | vanish into thin air 凭空消失 | | 19 | vacuum | n. / v. | n. 真空；空白　v. 用吸尘器打扫 | vacuuming | vacuum – vacuumed – vacuumed；复数 vacuums | vacuum cleaner 吸尘器 | | 20 | vacant | adj. | 空的，空缺的；茫然的 | —（非动词） | 名词 vacancy 空缺 | a vacant seat；与 vacation 假日易混 | | 21 | conservative | adj. / n. | adj. 保守的　n. 保守派 | —（非动词） | 复数 conservatives | a conservative estimate 保守估计 | | 22 | preserve | v. / n. | v. 保护，保存　n. 保护区 | preserving | preserve – preserved – preserved | preserve…from… 保护…免受 | | 23 | reserve | v. / n. | v. 预订，保留　n. 储备；自然保护区 | reserving | reserve – reserved – reserved | reserve a table 订位；in reserve 备用 | | 24 | reservoir | n. | 水库，蓄水池；储备 | —（非动词） | 复数 reservoirs | a reservoir of knowledge 知识储备 | | 25 | dessert | n. | 甜点，餐后甜品 | —（非动词） | 复数 desserts | 与 desert 沙漠／抛弃易混 | | 26 | coordinate | v. / n. | v. 协调，配合　n. 坐标 | coordinating | coordinate – coordinated – coordinated | coordinate with sb.；名词 coordination | | 27 | specific | adj. | 具体的，明确的；特定的 | —（非动词） | 副词 specifically；动词 specify | to be specific 具体来说 | | 28 | stake | n. / v. | n. 股份；赌注；桩　v. 以…打赌 | staking | stake – staked – staked；复数 stakes | at stake 处于危险中 | | 29 | stack | n. / v. | n. 一堆　v. 堆积，堆放 | stacking | stack – stacked – stacked；复数 stacks | a stack of 一堆；stack up 堆积 | | 30 | facial | adj. | 面部的 | —（非动词） | 名词 face | facial expression 面部表情 | | 31 | adequate | adj. | 足够的，适当的 | —（非动词） | 副词 adequately；反义 inadequate | be adequate for 足以应付 | | 32 | equate | v. | 使等同，把…等同于 | equating | equate – equated – equated | equate A with B；名词 equation 等式 | | 33 | offend | v. | 冒犯，得罪；违犯 | offending | offend – offended – offended | be offended by 被…冒犯；名词 offence | | 34 | offensive | adj. / n. | adj. 冒犯的，令人不快的　n. 进攻 | —（非动词） | 名词 offense／offence | take the offensive 采取攻势 | | 35 | resume | v. / n. | v. 重新开始，继续　n. 简历 | resuming | resume – resumed – resumed | resume work 复工；动词重音在后 | | 36 | consume | v. | 消耗，消费；吃光 | consuming | consume – consumed – consumed | 名词 consumer 消费者；consumption 消耗 | | 37 | expectancy | n. | 期待，预期 | —（非动词） | 动词 expect | life expectancy 预期寿命 | | 38 | inspect | v. | 检查，视察 | inspecting | inspect – inspected – inspected | 名词 inspection；inspector 检查员 | | 39 | perspective | n. | 视角，观点；透视法 | —（非动词） | 复数 perspectives | from a…perspective 从…角度看 | | 40 | prospect | n. / v. | n. 前景，可能性　v. 勘探 | prospecting | prospect – prospected – prospected | in prospect 有望；prospective 未来的 | | 41 | respective | adj. | 各自的，分别的 | —（非动词） | 副词 respectively | their respective jobs 各自的工作 | | 42 | speculate | v. | 推测，猜测；投机 | speculating | speculate – speculated – speculated | speculate on/about 推测 | | 43 | suspicion | n. | 怀疑，猜疑 | —（非动词） | 复数 suspicions；动词 suspect | under suspicion 有嫌疑；suspicious 可疑的 | | 44 | invariably | adv. | 总是，一贯地 | —（非动词） | 形容词 invariable | 相当于 always，书面语 | | 45 | cognitive | adj. | 认知的，认识的 | —（非动词） | 名词 cognition | cognitive psychology 认知心理学 | | 46 | diagnose | v. | 诊断；判断（问题） | diagnosing | diagnose – diagnosed – diagnosed | be diagnosed with 被诊断出… | | 47 | ignorant | adj. | 无知的；不知道的 | —（非动词） | 名词 ignorance | be ignorant of/about 不知道 | | 48 | interior | adj. / n. | adj. 内部的　n. 内部，内地 | —（非动词） | 复数 interiors | interior design 室内设计；反义 exterior | | 49 | exterior | adj. / n. | adj. 外部的　n. 外表，外部 | —（非动词） | 复数 exteriors | 反义 interior；external 亦为“外部的” | | 50 | intimate | adj. / v. | adj. 亲密的；私人的　v. 暗示 | intimating | intimate – intimated – intimated | intimate friend 密友；名词 intimacy | | 51 | internal | adj. | 内部的；国内的；体内的 | —（非动词） | 副词 internally | internal affairs 内政；反义 external | | 52 | external | adj. | 外部的，外来的 | —（非动词） | 副词 externally | external pressure 外部压力；反义 internal | | 53 | dependent | adj. / n. | adj. 依赖的，取决于的　n. 受抚养者 | —（非动词） | 名词 dependence；动词 depend | be dependent on 依赖；反义 independent | | 54 | independent | adj. | 独立的，自主的 | —（非动词） | 名词 independence | be independent of 不依赖；美式常写 -ant | | 55 | consist | v. | 由…组成；在于 | consisting | consist – consisted – consisted | consist of 由…组成（无被动）；consist in 在于 | | 56 | consistent | adj. | 一致的，始终如一的 | —（非动词） | 名词 consistency | be consistent with 与…一致 | | 57 | resist | v. | 抵抗，抵制；忍住 | resisting | resist – resisted – resisted | resist doing sth. 忍住不做；名词 resistance | | 58 | persist | v. | 坚持，执意；持续 | persisting | persist – persisted – persisted | persist in doing sth.；名词 persistence | | 59 | foundation | n. | 基础，地基；基金会；创建 | —（非动词） | 复数 foundations；动词 found | lay the foundation for 为…打基础 | | 60 | profound | adj. | 深刻的，深远的；深奥的 | —（非动词） | 副词 profoundly | profound influence 深远影响 | | 61 | fundamental | adj. / n. | adj. 基本的，根本的　n. 基本原则 | —（非动词） | 复数 fundamentals | be fundamental to 对…至关重要 | | 62 | enormous | adj. | 巨大的，庞大的 | —（非动词） | 副词 enormously | an enormous amount of；同族 immense | | 63 | undergo | v. | 经历，遭受（变化、治疗等） | undergoing | undergo – underwent – undergone | undergo surgery 接受手术 | | 64 | undermine | v. | 削弱，逐步破坏（信心、权威） | undermining | undermine – undermined – undermined | undermine confidence 打击信心 | | 65 | undertake | v. | 承担，着手做；承诺 | undertaking | undertake – undertook – undertaken | undertake a task 承担任务 | | 66 | modest | adj. | 谦虚的；适度的，不大的 | —（非动词） | 名词 modesty | a modest increase 小幅增长 | | 67 | modesty | n. | 谦虚，质朴 | —（非动词） | 形容词 modest | in all modesty 说句不自夸的话 | | 68 | modify | v. | 修改，调整；修饰 | modifying | modify – modified – modified | 名词 modification；同族 modest | | 69 | appliance | n. | 家用电器，器具 | —（非动词） | 复数 appliances | household appliance 家用电器 | | 70 | applicable | adj. | 适用的，可应用的 | —（非动词） | 动词 apply；名词 application | be applicable to 适用于 | | 71 | applicant | n. | 申请人，求职者 | —（非动词） | 复数 applicants | job applicant 求职者；申请表格是 application | | 72 | circulate | v. | 循环，流通；传播 | circulating | circulate – circulated – circulated | 名词 circulation 血液循环／发行量 | | 73 | circumstance | n. | 情况，环境，境遇 | —（非动词） | 常用复数 circumstances | under no circumstances 决不（置于句首倒装） | | 74 | contract | n. / v. | n. 合同　v. 感染；收缩；订约 | contracting | contract – contracted – contracted | contract a disease 染病；sign a contract 签合同 | | 75 | distract | v. | 分散（注意力），使分心 | distracting | distract – distracted – distracted | distract sb. from sth.；名词 distraction | | 76 | subtract | v. | 减去，扣除 | subtracting | subtract – subtracted – subtracted | subtract A from B 从 B 中减去 A | | 77 | justify | v. | 证明…正当，为…辩解 | justifying | justify – justified – justified | justify doing sth.；形容词 justified 有道理的 | | 78 | justification | n. | 正当理由，辩护 | —（非动词） | 复数 justifications；动词 justify | justification for 为…的理由 | | 79 | gesture | n. / v. | n. 手势，姿态；表示　v. 做手势 | gesturing | gesture – gestured – gestured；复数 gestures | make a gesture 做个手势 | | 80 | digest | v. / n. | v. 消化；理解　n. 文摘 | digesting | digest – digested – digested | Reader's Digest《读者文摘》；名词 digestion | | 81 | registration | n. | 登记，注册 | —（非动词） | 动词 register | registration form 登记表 | | 82 | approve | v. | 赞成，批准 | approving | approve – approved – approved | approve of 赞成；名词 approval | | 83 | approval | n. | 赞成，批准，认可 | —（非动词） | 动词 approve | win approval 获得认可 | | 84 | capable | adj. | 有能力的，能干的 | —（非动词） | 名词 capability／capacity | be capable of doing 有能力做；与 capacity 易混 | | 85 | capacity | n. | 容量，容纳能力；能力；职位 | —（非动词） | 复数 capacities | at full capacity 满负荷；seating capacity 座位数 | | 86 | portable | adj. / n. | adj. 便携的　n. 便携设备 | —（非动词） | 动词 port 携带（古／罕） | portable computer 便携电脑；同族 import／export | | 87 | apparent | adj. | 明显的；表面上的 | —（非动词） | 副词 apparently | for no apparent reason 无明显原因 | | 88 | aggressive | adj. | 好斗的，侵略性的；积极进取的 | —（非动词） | 名词 aggression | aggressive marketing 强势营销 | | 89 | sensible | adj. | 明智的，合情理的 | —（非动词） | 名词 sense | a sensible decision 明智的决定；与 sensitive 易混 | | 90 | sensitive | adj. | 敏感的，灵敏的；体贴的 | —（非动词） | 名词 sensitivity | be sensitive to 对…敏感；与 sensible 易混 | | 91 | resent | v. | 怨恨，对…感到不满 | resenting | resent – resented – resented | resent doing sth.；形容词 resentful | | 92 | consent | n. / v. | n. 同意，许可　v. 同意 | consenting | consent – consented – consented | consent to 同意；by common consent 公认 | | 93 | amid | prep. | 在…之中；在…期间 | —（介词） | 同义 among | amid the crowd 在人群之中 | | 94 | campaign | n. / v. | n. 运动，战役　v. 参加运动 | campaigning | campaign – campaigned – campaigned | campaign for/against 支持／反对…的运动 | | 95 | contradict | v. | 反驳；与…相矛盾 | contradicting | contradict – contradicted – contradicted | contradict oneself 自相矛盾；名词 contradiction | | 96 | contrary | adj. / n. | adj. 相反的　n. 相反事物 | —（非动词） | 名词 contrariwise（罕） | on the contrary 相反；contrary to 与…相反 | | 97 | contrast | n. / v. | n. 对比，差异　v. 对照 | contrasting | contrast – contrasted – contrasted | in contrast to/with 与…形成对比 | | 98 | controversy | n. | 争议，争论 | —（非动词） | 复数 controversies；形容词 controversial | controversy over 关于…的争议 | | 99 | destruction | n. | 破坏，毁灭 | —（非动词） | 动词 destroy；形容词 destructive | environmental destruction 环境破坏 | | 100 | instruct | v. | 指示，命令；教导 | instructing | instruct – instructed – instructed | instruct sb. to do sth.；名词 instruction | | 101 | dispute | n. / v. | n. 争论，纠纷　v. 争论，质疑 | disputing | dispute – disputed – disputed | in dispute 有争议；beyond dispute 无疑 | | 102 | reputation | n. | 名声，声誉 | —（非动词） | 复数 reputations | have a reputation for 以…著称 | | 103 | opt | v. | 选择，决定 | opting | opt – opted – opted | opt for 选择；opt out 选择退出 | | 104 | option | n. | 选择，选项；选择权 | —（非动词） | 复数 options | have no option but to do 别无选择只能 | | 105 | optional | adj. | 可选的，非必修的 | —（非动词） | 反义 compulsory | optional course 选修课 | | 106 | optimistic | adj. | 乐观的 | —（非动词） | 名词 optimism；反义 pessimistic | be optimistic about 对…乐观。原文拼作 optimstic，已更正 | | 107 | emit | v. | 发出（光、热、声音、气体） | emitting（双写 t） | emit – emitted – emitted | emit light 发光；名词 emission | | 108 | emission | n. | 排放，排放物 | —（非动词） | 复数 emissions；动词 emit | carbon emissions 碳排放 | | 109 | omit | v. | 省略，删去；遗漏 | omitting | omit – omitted – omitted | omit to do sth. 忘了做；omit doing 略去不做 | | 110 | submit | v. | 提交，呈递；屈服 | submitting | submit – submitted – submitted | submit to 屈服于；submit an application 提交申请 | | 111 | permit | v. / n. | v. 允许，准许　n. 许可证 | permitting | permit – permitted – permitted | permit sb. to do；work permit 工作许可。原文拼作 perimit，已更正 | | 112 | submission | n. | 提交，呈递；顺从 | —（非动词） | 动词 submit | submission deadline 提交截止日期 | | 113 | transmit | v. | 传送，传播；传染 | transmitting | transmit – transmitted – transmitted | transmit a disease 传播疾病；名词 transmission | | 114 | principal | adj. / n. | adj. 主要的　n. 校长；本金 | —（非动词） | 副词 principally | the principal reason 主要原因；与 principle 易混 | | 115 | principle | n. | 原则，原理，准则 | —（非动词） | 复数 principles | in principle 原则上；与 principal 易混 | | 116 | ambitious | adj. | 有雄心的，野心勃勃的 | —（非动词） | 名词 ambition | be ambitious for 渴望得到 | | 117 | anticipate | v. | 预料，预期；期待 | anticipating | anticipate – anticipated – anticipated | anticipate doing sth. 预料会做；名词 anticipation | | 118 | classification | n. | 分类，归类；类别 | —（非动词） | 动词 classify；形容词 classified | classification system 分类系统 | | 119 | compact | adj. / v. | adj. 紧凑的，小巧的　v. 压紧 | compacting | compact – compacted – compacted | a compact car 小型车 | | 120 | impact | n. / v. | n. 影响，冲击　v. 影响 | impacting | impact – impacted – impacted | have an impact on 对…有影响 | | 121 | decisive | adj. | 决定性的；果断的 | —（非动词） | 动词 decide；名词 decision | a decisive factor 决定性因素；反义 indecisive | | 122 | suicide | n. / v. | n. 自杀　v. 自杀 | —（非动词） | 形容词 suicidal | commit suicide 自杀 | | 123 | precision | n. | 精确，精密度 | —（非动词） | 形容词 precise | with precision 精确地；同族 precise | | 124 | precise | adj. | 精确的，准确的；严谨的 | —（非动词） | 副词 precisely | to be precise 确切地说 | | 125 | durable | adj. | 耐用的，持久的 | —（非动词） | 名词 durability；duration 时长 | durable goods 耐用品；同族 duration／endure | | 126 | duration | n. | 持续时间，期间 | —（非动词） | 动词 endure | for the duration of 在…期间；同族 durable | | 127 | endure | v. | 忍受，忍耐；持续存在 | enduring | endure – endured – endured | endure pain 忍受痛苦；名词 endurance 耐力 | | 128 | accomplish | v. | 完成，实现 | accomplishing | accomplish – accomplished – accomplished | accomplish a goal；名词 accomplishment 成就 | | 129 | implement | v. / n. | v. 实施，执行　n. 工具，器具 | implementing | implement – implemented – implemented；复数 implements | implement a policy 落实政策；与听力词表第 27 条重复 | | 130 | revolt | n. / v. | n. 反抗，起义　v. 反抗，使反感 | revolting | revolt – revolted – revolted | in revolt 在叛乱中；revolting 令人作呕的 | | 131 | revolve | v. | 旋转；围绕…转 | revolving | revolve – revolved – revolved | revolve around 围绕…展开 | | 132 | evolve | v. | 进化，逐渐发展 | evolving | evolve – evolved – evolved | evolve into 演变成；名词 evolution | | 133 | association | n. | 协会；联系，联想 | —（非动词） | 动词 associate | in association with 与…合作 | | 134 | associate | v. / n. | v. 联想，联系　n. 同事，伙伴 | associating | associate – associated – associated | associate A with B 把 A 与 B 联系起来 | | 135 | dimension | n. | 维度，尺寸；方面 | —（非动词） | 复数 dimensions；形容词 dimensional | three dimensions 三维 | | 136 | immense | adj. | 极大的，巨大的 | —（非动词） | 副词 immensely | immense pressure 巨大压力；同族 enormous | | 137 | eliminate | v. | 消除，排除；淘汰 | eliminating | eliminate – eliminated – eliminated | eliminate A from B；名词 elimination | | 138 | settle | v. | 解决；定居；安顿；平静下来 | settling | settle – settled – settled | settle down 定居；settle a dispute 解决争端 | | 139 | terrific | adj. | 极好的，了不起的；极大的 | —（非动词） | 副词 terrifically | 口语“棒极了”；与 terrible 词根同源但意思相反 |

000 前言

前言

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001 Limits

Part 1 极限

数列极限

定义

按照一定次序排列的一列无穷多个数

$$ x_1,\ x_2,\ x_3,\ \dots,\ x_n,\ \dots $$

称为数列，记作 ${x_n}$，其中第 $n$ 项 $x_n$ 称为通项.

从函数的角度看，数列就是定义在正整数集上的函数 $x_n = f(n)$. 所以数列是离散的，只在 $n = 1,2,3,\dots$ 这些点上取值，不能求导，也没法画成连续曲线.

设 ${x_n}$ 是一个数列，$a$ 是常数. 如果对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有

$$ \lvert x_n - a \rvert < \varepsilon $$

则称数列 ${x_n}$ 收敛于 $a$，称 $a$ 为它的极限，记作

$$ \lim_{n\to\infty} x_n = a \quad \text{或} \quad x_n \to a\ (n \to \infty) $$

如果这样的常数 $a$ 不存在，就称数列 ${x_n}$ 发散.

几何意义

$\lvert x_n - a\rvert < \varepsilon$ 等价于

$$ a - \varepsilon < x_n < a + \varepsilon $$

也就是 $x_n$ 落在以 $a$ 为中心、半径为 $\varepsilon$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $U(a,\varepsilon)$ 内.

于是整个定义可以翻译成一句人话：不管把邻域取多窄，只要往后数足够多项，从某一项开始后面的项就全部挤进这个邻域里了. 前面有限项怎么乱都无所谓.

备注

$\varepsilon$-$N$ 定义里的量词顺序是死的，只能这样读：

别人随便给你一个 $\varepsilon$ —— 是任意的，可以要多小有多小；
你要交出一个 $N$ —— 是存在的，只要找得到就行；
交出的 $N$ 之后，所有项都满足 $\lvert x_n - a\rvert < \varepsilon$.

几个要记住的点：

$\varepsilon$ 先给，$N$ 后找，所以 $N$ 一定依赖于 $\varepsilon$，严格写应记作 $N(\varepsilon)$.
$N$ 不唯一，取大一点当然更成立.
定义只关心"某一项之后"，前有限项不影响极限.

工科考试里 $\varepsilon$-$N$ 定义主要出现在证明题，计算题几乎不碰. 所以下面给完定义，重心直接转到运算和准则上.

常用结论

下面这些直接背，使用频率极高：

| 数列 | 极限 | 条件 | | :--- | :--- | :--- | | $\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ | $0$ | $\alpha > 0$ | | $q^n$ | $0$ | $\lvert q \rvert < 1$ | | $q^n$ | $1$ | $q = 1$ | | $\sqrt[n]{n}$ | $1$ | — | | $\sqrt[n]{a}$ | $1$ | $a > 0$ | | $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}$ | $e$ | — |

补充：当 $\lvert q\rvert > 1$ 或 $q = -1$ 时，$q^n$ 发散.

定理

极限的唯一性 如果数列收敛，那么它的极限是唯一的.

收敛数列的有界性 如果 ${x_n}$ 收敛，那么 ${x_n}$ 有界，即存在 $M > 0$，使得对一切 $n$ 有

$$ \lvert x_n \rvert \le M $$

保号性 如果 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，且 $a > 0$（或 $a < 0$），那么存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，

$$ x_n > \frac{a}{2} > 0 \quad \left(\text{或 } x_n < \frac{a}{2} < 0\right) $$

子列性 如果 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，那么它的任意子列 ${x_{n_k}}$ 也都收敛于 $a$.

子列性几乎总是反过来用，也就是用它的逆否命题：只要找出两个收敛到不同极限的子列，或者找出一个发散的子列，就能立刻断定原数列发散. 这是判断"发散"最省力的手段，比用定义硬证快得多.

$x_n = (-1)^n$：偶数项子列恒为 $1$，奇数项子列恒为 $-1$，两者极限不同，故发散.
$x_n = \sin\frac{n\pi}{2}$：取 $n = 4k$ 与 $n = 4k+1$ 两个子列，分别收敛到 $0$ 和 $1$，故发散.

例题 1

用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2} = \frac{2}{3} $$

例题解答 1

用定义证极限永远是倒着算的：先盯住 $\lvert x_n - a\rvert$，想办法把它放大成一个只含 $n$ 的量，再反解出 $n$ 至少要多大.

先化简再放缩：

$$ \left\lvert \frac{2n+1}{3n+2} - \frac{2}{3} \right\rvert = \left\lvert \frac{3(2n+1) - 2(3n+2)}{3(3n+2)} \right\rvert = \frac{1}{3(3n+2)} $$

把分母缩小，分数就放大：

$$ \frac{1}{3(3n+2)} < \frac{1}{3 \cdot 3n} = \frac{1}{9n} $$

要让 $\dfrac{1}{9n} < \varepsilon$，只需

$$ n > \frac{1}{9\varepsilon} $$

于是取 $N = \left\lceil \dfrac{1}{9\varepsilon} \right\rceil$. 当 $n > N \ge \dfrac{1}{9\varepsilon}$ 时，

$$ \left\lvert \frac{2n+1}{3n+2} - \frac{2}{3} \right\rvert < \frac{1}{9n} < \varepsilon $$

由定义，$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n+1}{3n+2} = \dfrac{2}{3}$.

固定流程：放缩 → 解不等式 → 取整得 $N$ → 正式回代一遍. 最后一步不能省，因为放缩的方向必须说清楚，否则写出的 $N$ 只是个巧合.

准则一：夹逼准则

定理如果存在正整数 $N_0$，当 $n > N_0$ 时有

$$ y_n \le x_n \le z_n $$

且

$$ \lim_{n\to\infty} y_n = \lim_{n\to\infty} z_n = a $$

那么 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$.

不等式只需要从某项开始成立，前面有限项不用管.
关键是"两边夹到同一个极限"，两边极限不相等时本准则失效.
工科里夹逼准则最大的用处是处理项数随 $n$ 变化的和式（这类和式不能拆成 $n$ 个极限相加）.

例题 2

求

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right) $$

例题解答 2

和式共 $n$ 项，项数本身在变，不能拆成 $n$ 个极限相加. 标准做法是把每一项都替换成最小项和最大项，把整个和夹住.

最小项是 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}$，最大项是 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}}$，于是

$$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \le S_n \le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} $$

两边分别求极限：

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1 $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}} = 1 $$

两边极限相等，由夹逼准则，$S_n \to 1$.

准则二：单调有界准则

定理单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限.

本准则只保证极限存在，不告诉你极限等于多少. 要求值，得先设极限为 $a$，再在原递推式两边取极限解方程.
反过来，要证发散，只要说明它单调但无界.

例题 3

设 $x_1 = \sqrt{2}$，且

$$ x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} $$

证明 ${x_n}$ 收敛，并求其极限.

例题解答 3

分三步：先证有界，再证单调，最后解方程求值.

（1）有界性 用数学归纳法证明 $x_n < 2$.

$x_1 = \sqrt{2} < 2$，成立. 设 $x_n < 2$，则

$$ x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2 $$

故对一切 $n$ 有 $0 < x_n < 2$，数列有界.

（2）单调性 各项均正，直接比较平方：

$$ x_{n+1}^2 - x_n^2 = (2 + x_n) - x_n^2 = (2 - x_n)(1 + x_n) $$

由（1）知 $2 - x_n > 0$ 且 $1 + x_n > 0$，所以 $x_{n+1}^2 > x_n^2$，又 $x_n > 0$，故

$$ x_{n+1} > x_n $$

数列单调递增.

（3）求极限 单调递增且有上界 $2$，由单调有界准则，极限存在，设为 $a$. 在 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$ 两边令 $n \to \infty$：

$$ a = \sqrt{2 + a} $$

两边平方整理得

$$ a^2 - a - 2 = 0 $$

解得 $a = 2$ 或 $a = -1$. 因为 $x_n > 0$，所以 $a \ge 0$，舍去 $-1$，故

$$ \lim_{n\to\infty} x_n = 2 $$

这个例子可以当模板记：有界 → 单调 → 准则得存在 → 递推式取极限解方程. 关键在求值那一步必须先说明极限存在，否则直接设 $a$ 是没依据的.

练习

用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n^2 + 1}{2n^2 + n} = \frac{1}{2} $$
证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$. 提示：令 $\sqrt[n]{n} = 1 + h_n$（$h_n > 0$），把 $n = (1 + h_n)^n$ 用二项式展开，只保留含 $h_n^2$ 的那一项，把 $h_n$ 压住.
讨论数列 $x_n = (-1)^n + \dfrac{1}{n}$ 是否收敛. 提示：用子列性.
设 $x_1 = 1$，$x_{n+1} = \sqrt{2x_n}$，证明 ${x_n}$ 收敛并求极限.

易错点

暂时留空

极限的四则运算法则

这是工科计算题的地基. 期末卷子上"求极限"的题，十有八九是先做初等变形，再用本节法则拆开算.

定理

设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，$\lim\limits_{n\to\infty} y_n = b$（$a, b$ 都是有限数），则

$$ \lim_{n\to\infty}(x_n \pm y_n) = a \pm b $$

$$ \lim_{n\to\infty}(x_n y_n) = ab $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n} = \frac{a}{b} \qquad (b \neq 0,\ y_n \neq 0) $$

推论

常数推论 设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，$c$ 为任意常数，则

$$ \lim_{n\to\infty} c,x_n = c \lim_{n\to\infty} x_n = ca $$

特别地，常数数列的极限等于它自身，且 $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n - a) = 0$. 这一条把"常数可以提到极限外面"合法化了，看到 $\lim(c \cdot \text{某式})$ 都可以先把 $c$ 摘出去.

幂推论 设 $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = a$，$k$ 为正整数，则

$$ \lim_{n\to\infty} x_n^k = a^k $$

更一般地，若 $a > 0$ 且 $k$ 为正整数，则

$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{x_n} = \sqrt[k]{a} $$

有了幂推论，多项式极限可以逐项算：把每一项的极限求出来再相加就行，不必每次从头拆.

使用前提

法则好用，但三个前提缺一不可，考卷上扣分多半就扣在这里：

每个极限都必须存在且有限. 出现 $\infty$ 就不在本法则适用范围，得先变形；
除法要求分母极限不为 $0$. 分母趋于 $0$ 时不能直接除，要先约分或通分；
项数必须固定. 有限个数列相加可以逐项拆，但像 $\dfrac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{n^2+n}}$ 这种项数随 $n$ 增长的和式，必须整体处理（回看夹逼准则）.

第 1 条最容易违反，典型的错误写法：

$$ \lim_{n\to\infty}(n - n) = \lim_{n\to\infty} n - \lim_{n\to\infty} n $$

左边是 $0$，右边两个极限都不存在，等于把不存在的东西当数在算.

例题 1

求

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - n + 4} $$

例题解答 1

分子分母同除以最高次幂 $n^2$：

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{3n^2 + 2n - 1}{5n^2 - n + 4} = \lim_{n\to\infty}\frac{3 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{1}{n^2}}{5 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{n^2}} $$

由 $\dfrac{1}{n}\to 0$、$\dfrac{1}{n^2}\to 0$ 和四则运算法则，分子趋于 $3$，分母趋于 $5$，分母极限不为 $0$，故

$$ \text{原式} = \frac{3}{5} $$

例题 2

求

$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) $$

例题解答 2

含根号差，先把分子有理化（同乘共轭式）：

$$ \sqrt{n}\left(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}\right) = \sqrt{n} \cdot \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} $$

分子分母同除以 $\sqrt{n}$：

$$ \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}} + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$

所以原极限为 $\dfrac{1}{2}$.

技巧

工科求数列极限，本质就一句话：先变形，使各项极限都存在，再用法则. 变形手段就那么几种，认题型即可：

1. 抓大放小（有理式） 分子分母同时除以最高次幂，低次项自动趋于 $0$. 更直接的结论：

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_k n^k + a_{k-1}n^{k-1} + \dots + a_0}{b_m n^m + b_{m-1}n^{m-1} + \dots + b_0}

\begin{cases} 0, & k < m \[6pt] \dfrac{a_k}{b_m}, & k = m \[8pt] \infty, & k > m \end{cases} $$

比较分子分母最高次幂就能直接报答案，是名副其实的送分题.

2. 有理化 见到 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ 型的差，同乘共轭 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$，把差挪到分母上去.

3. 通分 见到 $\infty - \infty$ 型的差，先通分合并成一个分式，再执行第 1 条.

4. 裂项相消 形如 $\sum \dfrac{1}{k(k+1)}$ 的和，先拆成

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$

求和后再取极限. 注意这类"有限项求和"可以先算出总和，再对结果用四则运算法则，并不违反前提 3.

5. 等比求和 用到

$$ \sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \qquad (q \neq 1) $$

再配合 $\lvert q\rvert < 1 \Rightarrow q^{n+1} \to 0$.

6. 无穷小乘有界量 无穷小乘以有界数列仍是无穷小. 例如

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n} = 0 $$

因为 $\dfrac{1}{n}\to 0$ 是无穷小，$\lvert \sin n\rvert \le 1$ 有界. 这是处理 $0 \cdot \infty$ 型最便宜的办法.

7. 凑 $e$ 见到 $1^{\infty}$ 型（底数趋于 $1$、指数趋于 $\infty$），凑成 $\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} \to e$ 的标准形式. 详细做法放到"两个重要极限"一节.

易错点

无视前提乱拆：$\lim(n - n)$ 必须整体算出 $0$，拆开就错.
分母为 $0$ 直接除：$y_n \to 0$ 时不能用法则，必须先约分、通分或有理化.
项数随 $n$ 变还拆项：这类和式只能整体夹逼，那是夹逼准则的题，不是四则运算的题.
把 $\infty$ 当数运算：$\infty - \infty$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$0 \cdot \infty$ 都是未定式，不是某个确定的数，不能加减乘除.
漏验分母非零：$y_n \neq 0$ 是除法法则的附带条件，某些题目要说明"从第 $N$ 项起分母不为 $0$".

函数极限

数列极限盯的是 $n \to \infty$ 时 $x_n$ 往哪跑，函数极限盯的是 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时 $f(x)$ 往哪跑. 工科考试里求极限的题基本全出在函数极限这一块，所以本节是整章的主力.

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义. 如果存在常数 $A$，使得对任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，当

$$ 0 < \lvert x - x_0 \rvert < \delta $$

时，恒有

$$ \lvert f(x) - A \rvert < \varepsilon $$

则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x) \to A\ (x \to x_0) $$

三点必须咬住：

条件里那个"$0 <$"就是 $x \neq x_0$. 所以 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有没有定义、取什么值，都不影响极限.
结构和数列的 $\varepsilon$-$N$ 完全一样，只是把"$n > N$"换成了"$0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$"，把"往无穷远处跑"换成了"往 $x_0$ 附近挤".
$\delta$ 依赖于 $\varepsilon$，记作 $\delta(\varepsilon)$.

左极限

如果 $x$ 只从 $x_0$ 的左侧趋于 $x_0$（即 $x < x_0$）时 $f(x)$ 趋于 $A$，就称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限，记作

$$ \lim_{x\to x_0^-} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^-) = A \quad \text{或} \quad f(x_0 - 0) = A $$

严格定义只需把 $0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$ 换成

$$ x_0 - \delta < x < x_0 $$

其余照搬.

右极限

如果 $x$ 只从 $x_0$ 的右侧趋于 $x_0$（即 $x > x_0$）时 $f(x)$ 趋于 $A$，就称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限，记作

$$ \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A \quad \text{或} \quad f(x_0^+) = A \quad \text{或} \quad f(x_0 + 0) = A $$

严格定义中把条件换成

$$ x_0 < x < x_0 + \delta $$

左极限与右极限统称单侧极限.

定理

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，当且仅当左极限与右极限都存在且相等，即

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x\to x_0^-} f(x) = \lim_{x\to x_0^+} f(x) = A $$

备注

这个定理是分段函数在分界点求极限的唯一入口. 碰到分界点不要试图整体求，直接分两半算再比较. 两条推论考试直接用：

左右极限存在但不相等 $\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 不存在；
左右极限中至少有一个不存在 $\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 也不存在.

完全一样的结论对 $x \to \infty$ 也成立：

$$ \lim_{x\to\infty} f(x) = A \iff \lim_{x\to +\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} f(x) = A $$

例如 $f(x) = \arctan x$，$x \to +\infty$ 时趋于 $\dfrac{\pi}{2}$，$x \to -\infty$ 时趋于 $-\dfrac{\pi}{2}$，两者不等，所以 $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$ 不存在. 以后看到 $\lim\limits_{x\to\infty}$ 又含 $e^x$、$\arctan x$、$\sqrt{x^2}$ 这类在正负两侧表现不同的函数，先拆成 $+\infty$ 和 $-\infty$ 两个单侧.

例题 1

设

$$ f(x) = \begin{cases} 2x + a, & x < 1 \[4pt] x^2 + 1, & x \ge 1 \end{cases} $$

已知 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$ 存在，求 $a$ 及该极限值.

例题解答 1

分界点是 $x = 1$，必须左右分开算，而且每侧只能用自己那一段的表达式.

左极限用 $x < 1$ 那一段（$2x + a$）：

$$ \lim_{x\to 1^-} f(x) = \lim_{x\to 1^-}(2x + a) = 2 + a $$

右极限用 $x \ge 1$ 那一段（$x^2 + 1$）：

$$ \lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+}(x^2 + 1) = 1 + 1 = 2 $$

已知极限存在，由定理必须有左极限 $=$ 右极限：

$$ 2 + a = 2 \quad \Rightarrow \quad a = 0 $$

此时

$$ \lim_{x\to 1} f(x) = 2 $$

这种"已知极限存在，求参数"是工科期末和考研的高频题，套路固定：在分界点分别算左右极限 → 令两者相等 → 解出参数. 顺带说一句，把 $a$ 代回去后 $f(1)$ 取的是 $1^2 + 1 = 2$，恰好和极限相等，这时函数在 $x = 1$ 处连续（连续性下一节细说）.

例题 2

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\lvert x \rvert}{x} $$

例题解答 2

绝对值函数的零点就是分界点，必须拆成 $x < 0$ 和 $x > 0$ 两半.

当 $x \to 0^-$ 时 $x < 0$，故 $\lvert x\rvert = -x$：

$$ \lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert x\rvert}{x} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x} = -1 $$

当 $x \to 0^+$ 时 $x > 0$，故 $\lvert x\rvert = x$：

$$ \lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert x\rvert}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x} = 1 $$

左极限 $-1$、右极限 $1$，两者不相等，故

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\lvert x \rvert}{x} \ \text{不存在} $$

注意这个函数在 $x \ne 0$ 处恒等于 $\pm 1$，图像是两条半直线，在 $y$ 轴两侧各跳一次，本来就不可能有双侧极限.

易错点

暂时留空

函数极限的四则运算法则

法则本身和上一节长得一模一样，但函数这边题型活得多. 数列只能靠 $n$ 的幂次比较，函数则要处理因式分解、有理化、通分、根号、参数，这才是工科卷子上真正拿分的地方.

定理

设 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = A$，$\lim\limits_{x\to x_0} g(x) = B$（$A, B$ 都是有限数），则

$$ \lim_{x\to x_0}[f(x) \pm g(x)] = A \pm B $$

$$ \lim_{x\to x_0}[f(x),g(x)] = AB $$

$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} \qquad (B \neq 0,\ g(x) \neq 0) $$

常数提取与幂次照旧：

$$ \lim_{x\to x_0} c,f(x) = cA, \qquad \lim_{x\to x_0}[f(x)]^{n} = A^{n} $$

同一套写法对 $x \to x_0^+$、$x \to x_0^-$、$x \to \infty$、$x \to \pm\infty$ 全部成立，不用另外记.

使用前提

跟数列那节一样的三条，但函数这边多一道验型的动作：

每个极限都必须存在且有限 —— 出现 $\infty$ 就不在适用范围内；
分母极限不能为 $0$；
先代入验型，再决定要不要变形 —— 代入后分母不为 $0$ 就直接得答案，不必瞎折腾.

所谓验型，就是把 $x_0$ 直接代进去看形式. 只有落到下面几种未定式才需要动手：

$$ \frac{0}{0},\quad \frac{\infty}{\infty},\quad \infty - \infty,\quad 0 \cdot \infty,\quad 1^{\infty},\quad 0^{0},\quad \infty^{0} $$

前四类靠本节的手法解决，后三类（$1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$）本质是幂指函数，交给后面"两个重要极限".

例题 1

求

$$ \lim_{x\to 2}\frac{x^2 + 1}{x + 3} $$

例题解答 1

先代入验型：分子趋于 $5$，分母趋于 $5 \ne 0$. 不是未定式，由四则运算法则直接得

$$ \lim_{x\to 2}\frac{x^2 + 1}{x + 3} = \frac{4 + 1}{2 + 3} = 1 $$

这类"能代入就代入"的题在卷子上是送分的，别一看见分式就条件反射地变形.

例题 2

求

$$ \lim_{x\to 3}\frac{x^2 - 9}{x - 3} $$

例题解答 2

代入得 $\dfrac{0}{0}$，是未定式，不能直接除. 分子因式分解：

$$ \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} $$

关键一步：$x \to 3$ 的过程中恒有 $x \neq 3$，所以 $x - 3 \neq 0$，可以放心约掉：

$$ \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x + 3) = 6 $$

约分这一步的合法性完全建立在"$x \neq x_0$"上，写解答时点一句更稳.

例题 3

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} $$

例题解答 3

代入是 $\dfrac{0}{0}$. 见到根号减常数，直接分子有理化 —— 同乘共轭式 $\sqrt{1+x} + 1$：

$$ \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{(1 + x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} $$

约去 $x$：

$$ = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$

例题 4

求

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + 2x^2 - 1} $$

例题解答 4

代入是 $\dfrac{\infty}{\infty}$. 分子分母同除以最高次幂 $x^3$：

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2 - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}}{5 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^3}} = \frac{2 - 0 + 0}{5 + 0 - 0} = \frac{2}{5} $$

推广成结论，以后直接报答案：

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{a_k x^k + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0}

\begin{cases} 0, & k < m \[6pt] \dfrac{a_k}{b_m}, & k = m \[8pt] \infty, & k > m \end{cases} $$

例题 5

求

$$ \lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) $$

例题解答 5

代入是 $\infty - \infty$，未定式. 有根号差就有理化，把差变成和：

$$ \sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} $$

分子分母同除以 $x$. 因为 $x \to +\infty$，有 $x > 0$，可以直接把 $x$ 放进根号：

$$ = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$

如果题目问的是 $x \to -\infty$，情况完全不同：此时 $\sqrt{x^2+x} \approx \lvert x\rvert - \dfrac{1}{2} = -x - \dfrac{1}{2}$，而 $-x \to +\infty$，两者同号相加，结果是 $+\infty$，极限不存在. 这正是上一节"看到 $\infty$ 先拆 $+\infty$、$-\infty$"的用处.

例题 6

求

$$ \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^2 - 1}\right) $$

例题解答 6

代入是 $\infty - \infty$. 两个分式相减，先通分合并成一个分式：

$$ \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1} = \frac{x + 1}{x^2 - 1} - \frac{2}{x^2 - 1} = \frac{x - 1}{(x-1)(x+1)} $$

约去 $x - 1$：

$$ = \frac{1}{x + 1} \longrightarrow \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$

通分之后问题自动降级成 $\dfrac{0}{0}$ 型，这就是"$\infty - \infty$ 先通分"的意义.

例题 7

已知

$$ \lim_{x\to 1}\frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3 $$

求 $a$ 与 $b$.

例题解答 7

这是含参数的反问题. 突破口在分母：$x \to 1$ 时分母趋于 $0$，而整个分式的极限却存在且有限，那么分子必须同时趋于 $0$ —— 否则分式会跑向无穷大. 于是

$$ 1 + a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b = -1 - a $$

把 $b$ 代回分子，因为分母是 $x - 1$，分子必然含 $x - 1$ 这个因式，直接分解：

$$ x^2 + ax - a - 1 = (x - 1)(x + a + 1) $$

验算：$(x-1)(x+a+1) = x^2 + (a+1)x - x - (a+1) = x^2 + ax - a - 1$，与分子一致.

于是

$$ \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x + a + 1)}{x - 1} = \lim_{x\to 1}(x + a + 1) = a + 2 $$

由题设 $a + 2 = 3$，得

$$ a = 1, \qquad b = -1 - 1 = -2 $$

回代检验：$\dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \dfrac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x + 2 \to 3$，正确.

技巧

按这个顺序判断，基本不会走错：

| 代入验型 | 对应手法 | | :--- | :--- | | 分母非 $0$，不是未定式 | 直接代入，结束 | | $\dfrac{0}{0}$ | 因式分解约分 → 有理化 → 通分，把"致零因子"干掉 | | $\dfrac{\infty}{\infty}$ | 分子分母同除最高次幂（抓大放小） | | $\infty - \infty$ | 分式相减先通分；含根号先有理化 | | $0 \cdot \infty$ | 化成分式，转成 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ | | 含参数 | 分母趋 $0$ 而极限有限 $\Rightarrow$ 分子必趋 $0$ |

三条附加提醒：

约分的前提是 $x \neq x_0$，而这个前提由极限过程本身保证，所以放心约.
有理化的方向：分子有根号差就乘分子，分母有根号差就乘分母，目标都是把差变成和.
$x \to \infty$ 时开根号要带绝对值：$\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$，若 $x \to -\infty$ 就是 $-x$. 这个符号一错，整道题全废.

易错点

暂时留空

两个重要极限

前面几种手法（四则运算、因式分解、有理化、通分）只能处理"代数型"的极限. 剩下两大类必须单独记：

含三角函数的 $\dfrac{0}{0}$ 型 —— 靠第一个重要极限；
幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ —— 靠第二个重要极限.

这两个式子要背到条件反射，因为后面的等价无穷小、洛必达、甚至导数公式全都架在它们上面.

第一个重要极限

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 $$

三个要点：

前提是弧度制. 角度制下这个极限等于 $\dfrac{\pi}{180}$，公式不成立.
分母和 $\sin$ 里面的角必须完全一样，而且那个角趋于 $0$. 也就是 $$ \lim_{\Box \to 0}\frac{\sin \Box}{\Box} = 1 $$ 这里的 $\Box$ 可以是任意趋于 $0$ 的表达式，$3x$、$x^2$、$\sin x$ 都行.
它是 $\dfrac{0}{0}$ 型，但极限值是 $1$，不是 $0$.

例题 1

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} $$

例题解答 1

现在分母是 $x$、角是 $3x$，不同. 硬凑 —— 分子分母同乘 $3$：

$$ \frac{\sin 3x}{x} = 3\cdot\frac{\sin 3x}{3x} $$

令 $\Box = 3x$，则 $\Box \to 0$，由第一个重要极限 $\dfrac{\sin 3x}{3x}\to 1$，故

$$ \text{原式} = 3\cdot 1 = 3 $$

凑结构是这一类题的全部技巧：分子里有 $\sin$ 什么，分母就凑成什么.

例题 2

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} $$

例题解答 2

分子里没有 $\sin$，先把它变出来. 用半角公式 $1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$：

$$ \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\dfrac{x}{2}}{x^2} $$

再把分母凑成角的平方，记 $\dfrac{x}{2} = t$ 即 $x^2 = 4t^2$：

$$ = \frac{2\sin^2 t}{4t^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^{2} $$

由 $\dfrac{\sin t}{t}\to 1$，得

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $$

这条要背下来，后面等价无穷小里的 $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$ 就是它.

例题 3

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} $$

例题解答 3

拆成正弦和余弦：

$$ \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x} $$

由 $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$，又 $\cos x \to 1 \neq 0$，四则运算法则给出

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x} = 1\cdot\frac{1}{1} = 1 $$

常用结论

下面这些都由两个重要极限直接推出来，做题时当公式用：

| 极限 | 值 | | :--- | :--- | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ | $1$ | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$ | $1$ | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin x}{x}$ | $1$ | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arctan x}{x}$ | $1$ | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^x - 1}{x}$ | $1$ | | $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}$ | $1$ |

后两条相当于把第二个重要极限取了反函数，下一节系统整理等价无穷小时还会再见到.

第二个重要极限

$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e $$

令 $t = \dfrac{1}{x}$，当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0$，得到等价写法

$$ \lim_{t\to 0}(1+t)^{1/t} = e $$

结构特征是 $1^{\infty}$ 型：底数趋于 $1$，指数趋于 $\infty$，而且底里的那个无穷小恰好和指数互为倒数.

使用公式

考试不会直接给你 $\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}$，都得先凑. 把上面两条合并成一条通用公式：

若 $\lim u(x) = 0$，且 $\lim u(x),v(x) = A$，则 $$ \lim\left[1 + u(x)\right]^{v(x)} = e^{A} $$

用法就一句话：把底写成 $1 + u$（$u$ 是那个无穷小），把指数 $v$ 乘上 $u$，这个乘积的极限放到 $e$ 的肩上.

证明思路（略）：$\left[1+u\right]^{v} = e^{v\ln(1+u)}$，而 $u \to 0$ 时 $\ln(1+u)\sim u$，所以 $v\ln(1+u)$ 与 $vu$ 同极限.

例题 4

求

$$ \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} $$

例题解答 4

底已经是 $1 + u$ 形式，其中 $u = \dfrac{2}{x}\to 0$，指数 $v = x$. 算乘积：

$$ uv = \frac{2}{x}\cdot x = 2 $$

故

$$ \lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} = e^{2} $$

也可以硬凑标准形：$\left[\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x/2}\right]^{2}$，中括号里趋于 $e$，外层平方得 $e^2$，结果一致.

例题 5

求

$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} $$

例题解答 5

第一步把底化成 $1 + u$，做多项式除法（或减一项加一项）：

$$ \frac{x+1}{x-1} = \frac{(x-1) + 2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1} $$

于是 $u = \dfrac{2}{x-1}\to 0$，$v = x$，

$$ uv = \frac{2x}{x-1} \longrightarrow 2 $$

所以

$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x} = e^{2} $$

看到 $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 型的底，一律先拆成 $1 + \dfrac{\text{常数}}{\text{分母}}$，这是固定动作.

例题 6

求

$$ \lim_{x\to 0}(1 + 3x)^{1/x} $$

例题解答 6

$u = 3x \to 0$，$v = \dfrac{1}{x}$，

$$ uv = 3x\cdot\frac{1}{x} = 3 $$

故

$$ \lim_{x\to 0}(1+3x)^{1/x} = e^{3} $$

幂指函数与另外三种未定式

前面"使用前提"里列了七种未定式. 四则运算那节解决了 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$\infty - \infty$、$0\cdot\infty$ 四种，剩下的 $1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$ 全部是幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 的问题，靠取对数统一处理.

任何幂指函数都可以改写成指数形式：

$$ \left[u(x)\right]^{v(x)} = e^{v(x)\ln u(x)} $$

于是求极限变成求指数上的极限：

$$ \lim \left[u(x)\right]^{v(x)} = e^{\lim v(x)\ln u(x)} $$

（这里用到 $e^{t}$ 的连续性，可以这样把极限搬进指数里.）

关键在于，这三种未定式化过去之后全都是同一种形状：

| 未定式 | 指数上 $v\ln u$ 的形状 | 化成 | | :--- | :--- | :--- | | $1^{\infty}$ | $\infty \cdot \ln 1 = \infty \cdot 0$ | $0\cdot\infty$ | | $0^{0}$ | $0\cdot \ln 0 = 0\cdot(-\infty)$ | $0\cdot\infty$ | | $\infty^{0}$ | $0\cdot \ln\infty = 0\cdot(+\infty)$ | $0\cdot\infty$ |

三种变一种，全部落到 $0\cdot\infty$ 型，再用"化分式 + 等价无穷小"处理. 这一句话就是 $1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 的统一解法：不用分别记三套，只记"取对数 → 变 $0\cdot\infty$ → 化简".

其中 $1^{\infty}$ 出现频率最高，可以在统一解法上再偷一步懒：底为 $1+u$ 时 $\ln(1+u)\sim u$，所以

$$ \lim\left[1+u\right]^{v} = e^{\lim uv} $$

不用真的把 $\ln$ 写出来.

例题 7

求

$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2} $$

例题解答 7

$1^{\infty}$ 型. 底数拆成 $1 + u$：

$$ \frac{x^2+1}{x^2-1} = \frac{(x^2-1) + 2}{x^2-1} = 1 + \frac{2}{x^2-1} $$

$u = \dfrac{2}{x^2-1}$，$v = x^2$，

$$ uv = \frac{2x^2}{x^2-1} \longrightarrow 2 $$

故

$$ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^{x^2} = e^{2} $$

例题 8

求

$$ \lim_{x\to 0}\left(\cos x\right)^{1/x^2} $$

例题解答 8

$x \to 0$ 时 $\cos x \to 1$，指数 $\dfrac{1}{x^2}\to\infty$，是 $1^{\infty}$ 型.

把底写成 $1 + u$，其中 $u = \cos x - 1 \to 0$，$v = \dfrac{1}{x^2}$：

$$ uv = \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1-\cos x}{x^2} $$

本节例题 2 已经算出 $\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac{1}{2}$，所以

$$ uv \longrightarrow -\frac{1}{2} $$

故

$$ \lim_{x\to 0}\left(\cos x\right)^{1/x^2} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} $$

这题的关键是把 $\cos x$ 整体看成一个趋于 $1$ 的底，而不是跑去凑 $\cos x$ 本身.

例题 9

求

$$ \lim_{x\to 0^{+}}x^{x} $$

例题解答 9

底趋于 $0$、指数也趋于 $0$，是 $0^{0}$ 型. 化成指数形式：

$$ x^{x} = e^{x\ln x} $$

指数上要算 $\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$，这是 $0\cdot(-\infty)$ 型. 换元 $x = e^{t}$（$t\to -\infty$）：

$$ x\ln x = e^{t}\cdot t = te^{t} \longrightarrow 0 $$

（幂函数衰减比对数快，这一步是标准结论，证明略.）于是

$$ \lim_{x\to 0^{+}}x^{x} = e^{0} = 1 $$

注意只讨论 $x \to 0^+$：$x^x$ 在 $x < 0$ 时一般没有定义.

例题 10

求

$$ \lim_{x\to +\infty}x^{1/x} $$

例题解答 10

底趋于 $+\infty$、指数趋于 $0$，是 $\infty^{0}$ 型. 化成指数形式：

$$ x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}} $$

指数上

$$ \frac{\ln x}{x} \longrightarrow 0 $$

（同样是对数比幂函数慢，证明略.）故

$$ \lim_{x\to +\infty}x^{1/x} = e^{0} = 1 $$

顺带记一句：数列里的 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$ 就是这题的数列版，本质是同一个结论.

技巧

| 题目特征 | 判断 | 手法 | | :--- | :--- | :--- | | 含 $\sin$、$\tan$、$\arcsin$ 的 $\dfrac{0}{0}$ | 第一重要极限 | 凑成 $\dfrac{\sin\Box}{\Box}$，分子有谁就凑谁 | | 含 $1-\cos x$ | 先变成 $\sin$ | 半角公式 $1-\cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}$ | | 底 $\to 1$，指数 $\to\infty$ | $1^{\infty}$ | 底拆成 $1+u$，答案 $e^{\lim uv}$ | | 底 $\to 0$，指数 $\to 0$ | $0^{0}$ | 整体写 $e^{v\ln u}$，先算 $v\ln u$ | | 底 $\to\infty$，指数 $\to 0$ | $\infty^{0}$ | 同上，$e^{v\ln u}$ | | 底是 $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ | $1^{\infty}$ 的常见外壳 | 先拆成 $1 + \dfrac{\text{常数}}{\text{分母}}$ |

两条操作纪律：

先判型再动手. $1^{\infty}$ 和 $0^{0}$ 长得像，但只有前者有"$e^{\lim uv}$"这条捷径.
一定先写成 $e^{(\cdot)}$ 再算指数，别把 $e$ 和指数混在一起变形，容易丢项.

易错点

暂时留空

无穷小量与无穷大量

极限讨论的是"趋于某个值"的过程. 其中有两类过程地位特殊，值得单独拎出来：一类趋于 $0$，一类绝对值无限增大. 它们就是无穷小量与无穷大量. 后面的等价无穷小替换、洛必达法则、以至于级数的敛散判别，全都建立在它们身上.

定义（无穷小量）

如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的极限为 $0$，即

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = 0 $$

则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷小量，简称无穷小.

三点必须说清楚：

无穷小是"以 $0$ 为极限的变量"，不是一个很小的数. $10^{-100}$ 再小也是常数，它的极限是它自身而不是 $0$，所以不是无穷小.
$0$ 是唯一可以作为无穷小的常数，因为 $\lim 0 = 0$ 恒成立.
说"无穷小"必须带过程. $x$ 在 $x \to 0$ 时是无穷小，但在 $x \to 1$ 时就不是. 单说"$x$ 是无穷小"没有意义.

定理

无穷小与极限的关系 这是整节最有用的一条：

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x),\quad \text{其中 } \alpha(x) \text{ 是无穷小} $$

也就是**"$f$ 趋于 $A$"和"$f$ 与 $A$ 只差一个无穷小"是同一件事**. 证明略，把定义里的 $f(x) - A$ 记成 $\alpha(x)$ 就出来了.

无穷小的运算性质 设 $\alpha, \beta$ 都是同一过程下的无穷小：

有限个无穷小的和仍是无穷小；
有限个无穷小的乘积仍是无穷小；
常数与无穷小的乘积仍是无穷小；
有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小（这条最常用）.

"有限个"三个字不能丢：无穷多个无穷小相加，结果可以是任何东西.

备注

两个无穷小的商不一定是无穷小，甚至不一定有极限. 在 $x \to 0$ 时，$x$、$x^{2}$、$\sin x$ 全都是无穷小，可它们的比值行为完全不同：

$$ \frac{x^{2}}{x}\to 0,\qquad \frac{x}{x} = 1,\qquad \frac{\sin x}{x}\to 1 $$

这就引出了后面的"无穷小的比较"—— 比较的正是两个无穷小趋零的快慢.

定义（无穷大量）

如果对任意给定的 $M > 0$，总存在 $\delta > 0$，当 $0 < \lvert x - x_0\rvert < \delta$ 时恒有

$$ \lvert f(x)\rvert > M $$

则称 $f(x)$ 为 $x \to x_0$ 时的无穷大量，记作

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = \infty $$

无穷大不是数，只是一个记号，表示 $\lvert f(x)\rvert$ 可以任意大. 所以不能拿 $\infty$ 去做四则运算.
严格说此时极限不存在，"极限是 $\infty$"只是一种方便的写法，表示它发散的方式.
若只关心方向（例如 $1/x^{2}$ 恒正），要写 $+\infty$ 或 $-\infty$，不能笼统写 $\infty$.

定理

无穷小与无穷大的关系 在同一过程中，若 $f(x) \neq 0$，则

$$ f(x) \text{ 是无穷大} \iff \frac{1}{f(x)} \text{ 是无穷小} $$

这是处理无穷大最省力的办法：取个倒数就变成无穷小，前面所有关于无穷小的结论立刻能用. 证明略，直接套定义.

还有一个几何副产品：若 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \infty$，则直线 $x = x_0$ 是曲线 $y = f(x)$ 的竖直渐近线.

例题 1

求

$$ \lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x} $$

例题解答 1

拆成两个因子的乘积看：

$x \to 0$，所以 $x$ 是无穷小；
$\left\lvert \sin\dfrac{1}{x}\right\rvert \le 1$，所以 $\sin\dfrac{1}{x}$ 是有界函数（注意它在 $x \to 0$ 时连极限都不存在，但有界这一点就够了）.

由"有界函数 × 无穷小 = 无穷小"，

$$ \lim_{x\to 0} x\sin\frac{1}{x} = 0 $$

这题的价值在于：$\sin\dfrac{1}{x}$ 本身发散，可被无穷小一压，整体还是趋于 $0$. 以后见到"有界振荡 × 趋于 $0$"，直接套这条，不要去研究振荡部分.

例题 2

讨论 $f(x) = \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ 在 $x \to 1$ 时的性态，并写出渐近线.

例题解答 2

$x \to 1$ 时 $x - 1 \to 0$，且 $(x-1)^{2} > 0$，于是它的倒数趋于 $+\infty$：

$$ \lim_{x\to 1}\frac{1}{(x-1)^{2}} = +\infty $$

所以 $x \to 1$ 时 $f(x)$ 是无穷大量. 由上面的定理，直线

$$ x = 1 $$

是曲线 $y = \dfrac{1}{(x-1)^{2}}$ 的竖直渐近线.

这里写 $+\infty$ 而不写 $\infty$：$(x-1)^{2}$ 在两侧都为正，倒数是单向发散的.

无穷小的比较

同在 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）的过程中，设 $\alpha, \beta$ 都是无穷小，且 $\beta \neq 0$. 考察比值 $\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的极限，就能分出趋零的快慢：

| 条件 | 名称 | 记号 | | :--- | :--- | :--- | | $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 0$ | $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小 | $\alpha = o(\beta)$ | | $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = \infty$ | $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小 | — | | $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = c \neq 0$ | $\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶无穷小 | $\alpha = O(\beta)$ | | $\lim\dfrac{\alpha}{\beta} = 1$ | $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小 | $\alpha \sim \beta$ |

口诀：比值趋 $0$ 是高阶（分子掉得快），比值趋 $\infty$ 是低阶（分子掉得慢）. 这是最容易记反的一处，建议直接记"比值是谁就是谁".

若存在 $k > 0$ 使得

$$ \lim\frac{\alpha}{\beta^{k}} = c \neq 0 $$

则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小. 例如 $\alpha = 1 - \cos x$ 与 $\beta = x$，因为 $\lim\dfrac{1-\cos x}{x^{2}} = \dfrac{1}{2} \neq 0$，所以 $1-\cos x$ 是 $x$ 的二阶无穷小.

常用等价无穷小

以下全部是 $x \to 0$ 时的等价无穷小，做题时直接替换：

| 无穷小 | 等价于 | 无穷小 | 等价于 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $\sin x$ | $x$ | $e^{x} - 1$ | $x$ | | $\tan x$ | $x$ | $a^{x} - 1$ | $x\ln a$ | | $\arcsin x$ | $x$ | $\ln(1 + x)$ | $x$ | | $\arctan x$ | $x$ | $\log_a(1+x)$ | $\dfrac{x}{\ln a}$ | | $1 - \cos x$ | $\dfrac{x^{2}}{2}$ | $(1+x)^{\alpha} - 1$ | $\alpha x$ | | $x - \sin x$ | $\dfrac{x^{3}}{6}$ | $\tan x - x$ | $\dfrac{x^{3}}{3}$ |

前五条在"两个重要极限"那节已经处理过；最后两行要靠泰勒展开，等学到那一章再补证明；其余用前面的极限或后面洛必达都很快能得.

定理（等价无穷小替换）

设 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，且 $\lim\dfrac{\alpha'}{\beta'}$ 存在，则

$$ \lim\frac{\alpha}{\beta} = \lim\frac{\alpha'}{\beta'} $$

也就是说，乘除因子可以整体替换成它的等价无穷小，极限值不变. 这一条能把一大批 $\dfrac{0}{0}$ 型题目瞬间化简，是提速的主力工具.

备注

加减项不能随便替换. 替换只对乘除因子成立. 下面是经典反例：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} $$

如果错把分子两项都换成 $x$，得到 $\dfrac{x - x}{x^{3}} = 0$，答案是错的（正确结果见例题 5）.

原因在于：$\tan x - \sin x$ 里的两个主项 $x$ 恰好抵消，真正起作用的是它们各自的高阶部分. 一抵消，低阶信息就没了，这时候替换等于把有效信息直接扔掉.

例题 3

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1 + 3x)}{\sin 2x} $$

例题解答 3

分子分母都是独立的乘除因子，分别替换：

$x \to 0$ 时 $3x \to 0$，故 $\ln(1+3x) \sim 3x$；
$2x \to 0$，故 $\sin 2x \sim 2x$.

于是

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+3x)}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} $$

替换时要把整个括号当成一个 $u$：$\ln(1+3x)$ 里的 $u = 3x$，不能写成 $\ln(1+3x) \sim x$ 这种丢系数的东西.

例题 4

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x\sin x} $$

例题解答 4

分母是两个因子相乘，$x\sin x$ 可整体换成 $x \cdot x = x^{2}$；分子用 $1-\cos x \sim \dfrac{x^{2}}{2}$：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x\sin x} = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{x^{2}}{2}}{x \cdot x} = \frac{1}{2} $$

例题 5

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} $$

例题解答 5

这就是上面那个反例. 加减项不能直接替换，先提公因式，把减法变成乘法：

$$ \tan x - \sin x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x = \sin x\left(\frac{1}{\cos x} - 1\right) = \sin x\cdot\frac{1 - \cos x}{\cos x} $$

现在整体是三个因子相乘，每个都能单独处理：

$\sin x \sim x$；
$1 - \cos x \sim \dfrac{x^{2}}{2}$；
$\cos x \to 1$，极限为 $1$，可直接代换.

于是

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}} = \lim_{x\to 0}\frac{x\cdot\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}\cdot\frac{1}{1} = \frac{1}{2} $$

这一步的心法是"提公因式，化减为乘"：只要把减法拆成乘除结构，替换就重新合法了.

例题 6

当 $x \to 0$ 时，判断 $\alpha = 1 - \cos x$ 与 $\beta = x^{2}$ 的关系.

例题解答 6

直接算比值：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}} = \frac{1}{2} $$

极限是一个非零常数 $\dfrac{1}{2}$，所以两者同阶；又因为常数不等于 $1$，所以不等价.

顺带一句：若把 $\beta$ 换成 $\dfrac{x^{2}}{2}$，则比值极限为 $1$，这时才叫等价. 等价必同阶，同阶不一定等价 —— 等价是同阶里最"像"的那一档.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 有界振荡 × 趋于 $0$ | 有界 × 无穷小 = 无穷小，直接得 $0$ | | 求 $x\to x_0$ 处的发散方式 | 取倒数变无穷小；或分左右写 $+\infty$、$-\infty$ | | $\dfrac{0}{0}$ 型且全是乘除因子 | 等价无穷小整体替换 | | 分子是加减、且低阶项会抵消 | 提公因式化减为乘，再替换 | | 问"是几阶无穷小" | 算 $\lim\dfrac{\alpha}{x^{k}}$，取使极限非零的那个 $k$ |

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连续函数

连续性是极限最直接的一个应用. 这一章本身内容不多，真正会考的其实只有两处：间断点的分类，以及做题时离不开的双曲函数. 下面按这个重心写.

定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义. 如果

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) $$

则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续.

这一个式子其实压了三件事，缺一不可：

$f(x_0)$ 有定义（$x_0$ 属于定义域）；
$\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 存在且为有限数；
两者相等.

任何一条不满足，就叫不连续，那个点就是下一节的"间断点".

等价的增量写法：记 $\Delta x = x - x_0$，$\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，则连续等价于

$$ \lim_{\Delta x\to 0}\Delta y = 0 $$

也就是"自变量的微小变化只引起函数的微小变化".

左连续与右连续：

$$ \lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0) \quad (\text{左连续}), \qquad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0) \quad (\text{右连续}) $$

由左右极限与极限的关系，立刻得到

$$ f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff f(x) \text{ 在 } x_0 \text{ 既左连续又右连续} $$

定理

连续函数的运算 两个在 $x_0$ 连续的函数，其和、差、积、商（分母不为 $0$）在 $x_0$ 处仍连续；连续函数的复合仍连续.

初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都连续.

第二条是求极限时"直接代入"的合法依据：只要 $x_0$ 落在定义区间内、又不是分段的分界点，就可以把 $x_0$ 代进去算. 前面几节所有"直接代入"的操作，背后都是这个定理.

间断点

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点.

判别完全靠左右极限，按"左右极限是否都存在"分成两大类：

| 类型 | 判据 | 细分 | | :--- | :--- | :--- | | 第一类 | 左、右极限都是有限数 | 左 $=$ 右但不等于 $f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义）$\Rightarrow$ 可去间断点；左 $\neq$ 右 $\Rightarrow$ 跳跃间断点 | | 第二类 | 至少一侧极限不存在 | 趋于 $\infty$ $\Rightarrow$ 无穷间断点；来回振荡 $\Rightarrow$ 振荡间断点 |

口诀：第一类看左右极限在不在，第二类看它们是不是数. 只要有一侧不是有限数，直接归第二类，不用再比大小.

两点补充：

可去间断点这名字有来历：只要重新定义 $f(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$，函数在这里立刻变连续，这个洞是能补上的.
跳跃间断点在图像上就是一个断开的台阶，跳多高就是左右极限之差.

例题 1

讨论 $f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 在 $x = 1$ 处的连续性.

例题解答 1

先算极限：

$$ \lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2 $$

极限存在且为 $2$. 但 $x = 1$ 时原式分母为 $0$，$f(1)$ 无定义，第 1 条就不满足.

所以 $x = 1$ 是可去间断点. 补充定义 $f(1) = 2$ 之后，函数就在 $x = 1$ 连续了.

例题 2

讨论 $f(x) = \dfrac{\lvert x \rvert}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

例题解答 2

分左右算（结论来自「函数极限」那一节）：

$$ \lim_{x\to 0^-}\frac{\lvert x\rvert}{x} = -1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{\lvert x\rvert}{x} = 1 $$

左右极限都存在且是有限数，属于第一类；两者不相等，所以是跳跃间断点. 跳跃幅度为

$$ 1 - (-1) = 2 $$

例题 3

讨论 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

例题解答 3

$$ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty $$

两侧都趋于无穷，不是有限数，所以是第二类中的无穷间断点. 直线 $x = 0$ 同时也是它的竖直渐近线（呼应「无穷小量与无穷大量」那一节）.

例题 4

讨论 $f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处的连续性.

例题解答 4

$x \to 0$ 时 $\dfrac{1}{x}\to\infty$，$\sin$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间无限次往返振荡，极限既不存在、也不是无穷大.

所以是第二类中的振荡间断点.

这里要和例题 3 之外的另一个东西区分开：$x\sin\dfrac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 时极限存在（等于 $0$），而 $\sin\dfrac{1}{x}$ 不存在. 多乘了一个 $x$，无穷小就把振荡压住了 —— 这正是「无穷小量与无穷大量」里"有界 × 无穷小"的用处.

例题 5

设

$$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \[6pt] a, & x = 1 \end{cases} $$

问 $a$ 取何值时 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续.

例题解答 5

由例题 1，

$$ \lim_{x\to 1} f(x) = 2 $$

而 $f(1) = a$. 连续的充要条件是两者相等，故

$$ a = 2 $$

这类"补参数使之连续"的题，套路固定：先算该点的极限，再令它等于函数值. 如果题设只说"在 $x=1$ 处是可去间断点"，那只要保证极限存在就够了，不必等于函数值.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 判断间断点类型 | 先算左右极限 $\to$ 都有限则第一类 $\to$ 再比是否相等 | | 可去间断点 | 极限存在，只是函数值缺位或错位；补定义即连续 | | 跳跃间断点 | 左右极限都存在但不相等，差值就是跳跃幅度 | | 无穷间断点 | 某侧极限为 $\infty$，通常伴随竖直渐近线 | | 振荡间断点 | 形如 $\sin\dfrac{1}{x}$、$\cos\dfrac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ | | 补参数使之连续 | 令 $f(x_0) = \lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ |

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双曲函数

双曲函数在考纲里不算显眼，但它是"万能换算器"：把 $e^{x}$ 与 $e^{-x}$ 的固定组合打包成一个名字，积分、微分方程、悬链线问题里出现频率极高. 这一节当速查表用.

定义

$$ \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $$

$$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}, \qquad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}} $$

中文名依次是双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切.

名字里的"双曲"来自参数方程

$$ x = \cosh t,\quad y = \sinh t \quad \Longrightarrow \quad x^{2} - y^{2} = 1 $$

它们是双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的右支，和 $\cos t$、$\sin t$ 参数化单位圆完全对应. 另外 $y = \cosh x$ 就是物理里的悬链线（两端固定的均匀链条自然下垂的形状）.

性质

| 项目 | $\sinh x$ | $\cosh x$ | $\tanh x$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | | 定义域 | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ | | 值域 | $\mathbb{R}$ | $[1, +\infty)$ | $(-1, 1)$ | | 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | | 单调性 | 严格递增 | $x<0$ 减，$x>0$ 增 | 严格递增 | | 零点 | $x = 0$ | 无 | $x = 0$ |

$\coth x$ 的定义域要去掉 $x = 0$，值域为 $(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)$.

基本恒等式

最核心的一条，相当于双曲线的"勾股定理"：

$$ \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1 $$

由它立刻得到

$$ 1 - \tanh^{2} x = \frac{1}{\cosh^{2} x}, \qquad \coth^{2} x - 1 = \frac{1}{\sinh^{2} x} $$

和角公式（注意 $\cosh$ 那条的符号是 $+$，与 $\cos$ 的公式正好相反）：

$$ \sinh(x \pm y) = \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y $$

$$ \cosh(x \pm y) = \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y $$

$$ \tanh(x \pm y) = \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x\tanh y} $$

倍角公式：

$$ \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x $$

$$ \cosh 2x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x = 2\cosh^{2} x - 1 = 2\sinh^{2} x + 1 $$

导数公式

先列出来当速查，Part 2 再正式推：

$$ (\sinh x)' = \cosh x, \qquad (\cosh x)' = \sinh x $$

$$ (\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^{2} x}, \qquad (\coth x)' = -\frac{1}{\sinh^{2} x} $$

对比三角函数 $(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$，口诀是：双曲求导比三角少一个负号，唯一例外是 $\coth$.

反双曲函数

$$ \operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right), \qquad x \in \mathbb{R} $$

$$ \operatorname{arcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right), \qquad x \ge 1 $$

$$ \operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}, \qquad \lvert x \rvert < 1 $$

这三条在算 $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}$、$\displaystyle\int\frac{dx}{a^{2} - x^{2}}$ 一类积分时就是标准答案的形式，直接背.

常用极限

全部是把双曲函数换成 $e^{x}$ 的组合，再用"两个重要极限"那节的结论得到的：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sinh x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tanh x}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\cosh x - 1}{x^{2}} = \frac{1}{2} $$

$$ \lim_{x\to +\infty}\tanh x = 1, \qquad \lim_{x\to -\infty}\tanh x = -1 $$

前三条可以直接当等价无穷小用（$x \to 0$）：

$$ \sinh x \sim x, \qquad \tanh x \sim x, \qquad \cosh x - 1 \sim \frac{x^{2}}{2} $$

注意 $\tanh x$ 在 $x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 的极限不同，所以 $\lim\limits_{x\to\infty}\tanh x$ 不存在（回看「函数极限」那节关于 $x\to\infty$ 的判据）.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 式子里到处是 $e^{x}$ 和 $e^{-x}$ | 凑成 $\sinh$、$\cosh$，比硬算快得多 | | 双曲函数的极限 | 换回 $e^{x}$ 展开，或用上面三条等价无穷小 | | 求 $\operatorname{arsinh}$ 之类的具体值 | 令 $y = \sinh x$ 反解，把 $e^{x}$ 当未知数解二次方程 | | 判断奇偶性 | $\sinh$、$\tanh$ 是奇函数；$\cosh$ 是偶函数 | | 积分结果里冒出 $\ln\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ | 它就是 $\operatorname{arsinh} x$，不必再变形 |

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002 Derivatives

Part 2 导数与微分

左导数与右导数

定义

导数的原始定义是一个双侧极限：

$$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$

$\Delta x \to 0$ 意味着 $\Delta x$ 从正负两侧同时趋于 $0$. 这和极限那一章遇到的老问题一模一样：

分段函数的分界点：两侧表达式不同，导数自然可能不同；
定义域的端点：例如 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 处左侧根本没定义，$\Delta x$ 只能取正的.

这两种情形下双侧导数可能不存在，能算的只有单侧导数.

左导数 如果极限

$$ \lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

存在，就称它为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记作

$$ f'_-(x_0) \quad \text{或} \quad f'(x_0^-) \quad \text{或} \quad f'(x_0 - 0) $$

右导数 把 $\Delta x \to 0^-$ 换成 $\Delta x \to 0^+$，得到的就叫右导数，记作

$$ f'_+(x_0) \quad \text{或} \quad f'(x_0^+) \quad \text{或} \quad f'(x_0 + 0) $$

两者统称单侧导数.

定理

$f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充分必要条件是：左右导数都存在且相等，即

$$ f'(x_0) \text{ 存在} \iff f'-(x_0) = f'+(x_0) $$

此时 $f'(x_0)$ 就等于这个公共值.

备注

可导即连续，连续未必可导

例题 1

设

$$ f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x < 1 \[4pt] 2x - 1, & x \ge 1 \end{cases} $$

讨论 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处是否可导.

例题解答 1

分界点 $x = 1$ 必须左右分开，每侧用自己那一段的表达式.

左导数用 $x < 1$ 的 $x^{2}$：

$$ f'-(1) = \lim{x\to 1^-}\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) = 2 $$

右导数用 $x \ge 1$ 的 $2x-1$：

$$ f'+(1) = \lim{x\to 1^+}\frac{(2x-1) - 1}{x - 1} = \lim_{x\to 1^+}\frac{2(x-1)}{x-1} = 2 $$

左右导数相等且都为 $2$，故 $f'(1)$ 存在，

$$ f'(1) = 2 $$

顺带一句：这个函数在分界点处不但连续，而且两侧"接头"是光滑的（左右导数相等），图像上看不出棱角.

例题 2

讨论 $f(x) = \lvert x \rvert$ 在 $x = 0$ 处是否可导.

例题解答 2

右导数：

$$ f'+(0) = \lim{x\to 0^+}\frac{\lvert x\rvert - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x} = 1 $$

左导数：

$$ f'-(0) = \lim{x\to 0^-}\frac{\lvert x\rvert - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-x}{x} = -1 $$

左右导数都存在但不相等（$1 \neq -1$），所以 $f'(0)$ 不存在.

几何上 $y = \lvert x\rvert$ 在原点是一个尖点，没有唯一切线. 这也是"连续但不可导"的标准反例：$\lvert x\rvert$ 在 $x = 0$ 处明明连续，却不可导.

例题 3

设

$$ f(x) = \begin{cases} 1 - \cos x, & x \ge 0 \[4pt] ax + b, & x < 0 \end{cases} $$

且 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处可导，求 $a$ 与 $b$.

例题解答 3

"可导"这件事包含两层：先是连续，再是左右导数相等. 而可导必连续，所以先用连续性定一个参数.

（1）连续性 先算左右极限：

$$ \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+}(1 - \cos x) = 0, \qquad \lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-}(ax + b) = b $$

又 $f(0) = 1 - \cos 0 = 0$，连续要求左右极限都等于函数值，故

$$ b = 0 $$

（2）可导性 此时 $x < 0$ 一段变成 $f(x) = ax$，算左右导数：

$$ f'-(0) = \lim{x\to 0^-}\frac{ax - 0}{x - 0} = a $$

$$ f'+(0) = \lim{x\to 0^+}\frac{(1 - \cos x) - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1 - \cos x}{x} $$

用等价无穷小 $1 - \cos x \sim \dfrac{x^{2}}{2}$（见「无穷小量与无穷大量」）：

$$ f'+(0) = \lim{x\to 0^+}\frac{\dfrac{x^{2}}{2}}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{2} = 0 $$

可导要求 $f'-(0) = f'+(0)$，即

$$ a = 0 $$

所以

$$ a = 0, \qquad b = 0 $$

这类题的标准顺序是：先连续定一个参数，再左右导数相等定另一个. 顺序反了会多算很多无用功.

技巧

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导数的定义与几何意义

定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义. 如果极限

$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，这个极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作

$$ f'(x_0), \qquad y'\big|{x=x_0}, \qquad \left.\frac{dy}{dx}\right|{x=x_0}, \qquad \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0} $$

四种记号都要认得：$f'(x_0)$ 是拉格朗日记号，$\dfrac{dy}{dx}$ 是莱布尼茨记号，后面学微分和积分时离不开后一种.

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则得到一个定义在 $I$ 上的新函数 $f'(x)$，称为 $f(x)$ 的导函数，简称导数. 这时 $f'(x_0)$ 就是导函数在 $x_0$ 处的值.

备注

导数定义的三种等价写法，做题时哪种顺手用哪种：

$$ f'(x_0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} $$

考试里最常见的变形是

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{h} = a,f'(x_0) $$

也就是说，分子里增量的系数 $a$ 必须搬到分母上作为倍数. 分母要和括号里的增量保持同一个"比例单位". 这是定义型考题最大的陷阱.

几何意义

导数 $f'(x_0)$ 就是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x_0,, f(x_0))$ 处切线的斜率.

于是切线方程

$$ y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0) $$

法线方程（当 $f'(x_0) \neq 0$）

$$ y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0) $$

若 $f'(x_0) = 0$，切线水平（$y = f(x_0)$），法线竖直（$x = x_0$）.

物理意义：若 $s = s(t)$ 表示位移，则 $s'(t)$ 是瞬时速度；再求一次导 $s''(t)$ 是加速度.

定理（可导与连续的关系）

可导必连续，连续不一定可导.

证明略，思路是把增量拆开：

$$ \Delta y = \frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\Delta x $$

可导意味着 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ 有有限极限，而 $\Delta x \to 0$，乘积趋于 $0$，即 $\Delta y\to 0$，这就是连续.

反例就是上一节的 $\lvert x\rvert$ 在 $x = 0$：连续，但左右导数不等，不可导.

所以三个概念的关系链是

$$ \text{可导} ;\Longrightarrow; \text{连续} ;\Longrightarrow; \text{有极限} $$

箭头全部不可逆.

例题 1

用定义求 $f(x) = x^{2}$ 在 $x = 3$ 处的导数.

例题解答 1

按定义硬算：

$$ f'(3) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(3 + \Delta x)^{2} - 3^{2}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{9 + 6\Delta x + (\Delta x)^{2} - 9}{\Delta x} $$

分子展开后常数项正好抵消，剩下每项都带 $\Delta x$，可以约分母：

$$ = \lim_{\Delta x\to 0}\left(6 + \Delta x\right) = 6 $$

要点就是这一句：分子必须展开干净、让不含 $\Delta x$ 的项抵消掉，否则约不掉分母. 展开没做彻底，这一步一定卡住.

例题 2

用定义求 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 4$ 处的导数.

例题解答 2

$$ f'(4) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{4 + \Delta x} - 2}{\Delta x} $$

分子是根号差，有理化（同乘共轭式）：

$$ = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(4 + \Delta x) - 4}{\Delta x\left(\sqrt{4 + \Delta x} + 2\right)} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\sqrt{4 + \Delta x} + 2} = \frac{1}{4} $$

例题 3

设 $f'(x_0)$ 存在，求

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + 3h) - f(x_0 - h)}{h} $$

例题解答 3

这是定义变形的经典题. 分子里有两处偏离 $x_0$，先拆成两个差商，给它们各配一个公用的 $f(x_0)$：

$$ \frac{f(x_0 + 3h) - f(x_0 - h)}{h} = \frac{f(x_0 + 3h) - f(x_0)}{h} + \frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} $$

第一项，令 $t = 3h$：

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + 3h) - f(x_0)}{h} = 3\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0 + t) - f(x_0)}{t} = 3f'(x_0) $$

第二项，令 $u = -h$：

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h} = \lim_{u\to 0}\frac{f(x_0 + u) - f(x_0)}{u} = f'(x_0) $$

所以

$$ \text{原式} = 3f'(x_0) + f'(x_0) = 4f'(x_0) $$

口诀：分子的两个位移系数直接相加，$3 + 1 = 4$，答案就是 $4f'(x_0)$.

例题 4

求曲线 $y = x^{2}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程与法线方程.

例题解答 4

先求斜率：$y' = 2x$，在 $x = 1$ 处

$$ k = y'(1) = 2 $$

切线：

$$ y - 1 = 2(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = 2x - 1 $$

法线斜率是 $-\dfrac{1}{2}$：

$$ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad x + 2y - 3 = 0 $$

写切线题固定三步：求导 $\to$ 代点得斜率 $\to$ 点斜式. 法线只多一步"取负倒数".

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 用定义求导 | 先展开（或有理化、通分）把不含 $\Delta x$ 的项消掉，再约分 | | 抽象函数的极限 $\dfrac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{h}$ | 分子增量系数搬到分母，得 $a f'(x_0)$ | | 分子有两处偏离 $x_0$ | 拆成两个差商分别换成 $f'(x_0)$，系数相加 | | 求切线 | $k = f'(x_0)$，点斜式 | | 求法线 | 斜率取 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$，注意 $f'(x_0)\neq 0$ | | 判断可导 / 连续 | 记死单向链：可导 $\Rightarrow$ 连续 $\Rightarrow$ 有极限 |

易错点

暂时留空

求导法则与基本公式

基本初等函数导数公式

这张表必须背到条件反射，后面所有题都是它的组合：

| 函数 | 导数 | 函数 | 导数 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $C$（常数） | $0$ | $\sin x$ | $\cos x$ | | $x^{\mu}$ | $\mu x^{\mu-1}$ | $\cos x$ | $-\sin x$ | | $a^{x}$ | $a^{x}\ln a$ | $\tan x$ | $\sec^{2}x$ | | $e^{x}$ | $e^{x}$ | $\cot x$ | $-\csc^{2}x$ | | $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ | $\sec x$ | $\sec x\tan x$ | | $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ | | $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ | $\sinh x$ | $\cosh x$ | | $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ | | $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^{2}}$ | $\tanh x$ | $\dfrac{1}{\cosh^{2}x}$ | | $\operatorname{arccot} x$ | $-\dfrac{1}{1+x^{2}}$ | $\coth x$ | $-\dfrac{1}{\sinh^{2}x}$ |

两条记忆线索：

带 co 的三角函数求导都带负号（$\cos$、$\cot$、$\csc$）；反三角里带 co 的（$\arccos$、$\operatorname{arccot}$）也带负号，而 $\arcsin$、$\arctan$ 不带.
双曲函数求导比三角函数少一个负号，唯一例外是 $\coth$.

四则运算法则

设 $u = u(x)$、$v = v(x)$ 都可导，则

$$ (u \pm v)' = u' \pm v' $$

$$ (uv)' = u'v + uv' $$

$$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \qquad (v \neq 0) $$

特别地，常数可以提出来：$(Cu)' = Cu'$.

商的法则别记反：分子是"上导下不导减上不导下导"，顺序反了整道题就错一个符号.

例题 1

求 $y = 3x^{4} - 2x^{2} + 5x - 7$ 的导数.

例题解答 1

逐项用幂函数公式，常数项导数为 $0$：

$$ y' = 3 \cdot 4x^{3} - 2 \cdot 2x + 5 - 0 = 12x^{3} - 4x + 5 $$

例题 2

求 $y = x^{2}\ln x$ 的导数.

例题解答 2

乘积法则，令 $u = x^{2}$、$v = \ln x$：

$$ y' = 2x\cdot\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x $$

例题 3

求 $y = \dfrac{\sin x}{x}$ 的导数.

例题解答 3

商的法则，$u = \sin x$、$v = x$：

$$ y' = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^{2}} $$

例题 4

用商的法则推出 $\tan x$ 的导数.

例题解答 4

把 $\tan x$ 写成 $\dfrac{\sin x}{\cos x}$：

$$ (\tan x)' = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x $$

分子上那个 $-\sin x$ 的负号来自 $\cos x$ 的导数，两边符号一并抵消成加号，这是最容易算错的一步.

例题 5

求 $y = e^{x}\sin x$ 的导数.

例题解答 5

$$ y' = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x = e^{x}\left(\sin x + \cos x\right) $$

答案能提出公因式就提，化简过的形式更利于后续求高阶导数.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 多项式 | 逐项用 $(x^{\mu})' = \mu x^{\mu-1}$，常数项直接消掉 | | 幂函数 × 对数 / 三角 | 乘积法则，注意两项都要求导 | | 分式 | 商的法则：上导下不导 $-$ 上不导下导，除以分母平方 | | 分母是单一幂次 | 可以先写成 $x^{-n}$ 用幂函数法则，比商的法则快 | | 三角分式 | 先想化成 $\tan$、$\cot$、$\sec$、$\csc$，再套现成公式 | | 求完导 | 能提公因式就提，能约分就约 |

易错点

暂时留空

复合函数求导（链式法则）

定理

设 $y = f(u)$ 在 $u$ 处可导，$u = g(x)$ 在 $x$ 处可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在 $x$ 处可导，且

$$ \frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot g'(x) \qquad\text{或}\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} $$

多层复合照此逐层写下去：

$$ y = f(u),\ u = g(v),\ v = h(x) \quad\Longrightarrow\quad y' = f'(u)\cdot g'(v)\cdot h'(x) $$

一句话心法：由外向内，逐层剥开，每剥一层乘上内层的导数，直到最里面是自变量为止.

链式法则是整章出现频率最高的东西. 后面所有求导题（隐函数、参数方程、高阶）本质都在用它.

例题 1

求 $y = \sin 2x$ 的导数.

例题解答 1

看成 $y = \sin u$，$u = 2x$：

$$ y' = \cos u \cdot (2) = 2\cos 2x $$

最容易犯的错是只写 $\cos 2x$ 而漏掉内层的那个 $2$. 漏内层导数是链式法则第一大失分点.

例题 2

求 $y = e^{3x^{2}}$ 的导数.

例题解答 2

外层是指数，内层是 $3x^{2}$：

$$ y' = e^{3x^{2}}\cdot (3x^{2})' = e^{3x^{2}}\cdot 6x = 6x,e^{3x^{2}} $$

例题 3

求 $y = \ln\sin x$ 的导数.

例题解答 3

两层：外层 $\ln$，内层 $\sin$.

$$ y' = \frac{1}{\sin x}\cdot \cos x = \cot x $$

例题 4

求 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的导数.

例题解答 4

先写成幂函数 $y = (1 - x^{2})^{1/2}$：

$$ y' = \frac{1}{2}(1 - x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^{2}}} $$

含根号先改成指数形式，比直接对根号求导稳得多.

例题 5

求 $y = (1 + x^{2})^{10}$ 的导数.

例题解答 5

$$ y' = 10(1 + x^{2})^{9}\cdot 2x = 20x,(1 + x^{2})^{9} $$

例题 6

设 $f$ 可导，求 $y = f(\sin x)$ 的导数.

例题解答 6

$f$ 的具体表达式不知道，但链式法则照样用：

$$ y' = f'(\sin x)\cdot\cos x $$

这类抽象函数求导在考研里非常常见. 记住：$f'(\sin x)$ 表示"先把 $f'$ 求出来，再把 $\sin x$ 代进去"，不等于 $\left[f(\sin x)\right]'$.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 函数套函数 | 链式法则，由外向内逐层剥 | | 三层以上复合 | 一层一层乘，别跳步 | | 含根号 | 先改写成 $(\cdot)^{1/2}$、$(\cdot)^{1/3}$ 再求 | | 幂函数复合 | $[u(x)]^{n}$ 的导数是 $n[u(x)]^{n-1}\cdot u'(x)$ | | 指数 / 对数复合 | 注意内层导数和 $\dfrac{1}{u}$ 那部分 | | 抽象函数 $f(g(x))$ | $f'(g(x))\cdot g'(x)$，别把 $f'$ 写在括号外面当乘法 |

易错点

暂时留空

高阶导数

定义

$y = f(x)$ 的导数 $y' = f'(x)$ 如果仍可导，再求一次导就得到二阶导数，记作

$$ y'', \qquad f''(x), \qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}} $$

再求一次就得到三阶导数 $y'''$，依此类推，$n$ 阶导数记作

$$ y^{(n)}, \qquad f^{(n)}(x), \qquad \frac{d^{n}y}{dx^{n}} $$

注意从四阶开始必须写 $y^{(4)}$ 而不能写四个撇。二阶以上统称高阶导数.

常用高阶导数公式

下面几条是反复出现的，直接背：

$$ \left(e^{ax}\right)^{(n)} = a^{n}e^{ax} $$

$$ \left(\sin x\right)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \qquad \left(\cos x\right)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ \left(x^{m}\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)\cdots(m-n+1),x^{m-n}, & n \le m \[4pt] 0, & n > m \end{cases} $$

$$ \left(\ln x\right)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}} $$

$$ \left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^{n}n!}{(1+x)^{n+1}} $$

$\sin$、$\cos$ 那条的规律很整齐：每求一次导就相当于相位前进 $\dfrac{\pi}{2}$.

莱布尼茨公式

乘积的高阶导数不能直接等于两个高阶导数相乘，要用

$$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(n-k)},v^{(k)} $$

长得和二项式定理一模一样，只是把乘方换成了求导阶数：

$$ (uv)^{(n)} = u^{(n)}v + nu^{(n-1)}v' + \frac{n(n-1)}{2}u^{(n-2)}v'' + \cdots + uv^{(n)} $$

实用技巧：把求导后会变成 $0$ 的那个因子放在 $v$ 位. 例如 $v = x^{2}$，那 $v''' = 0$，求和实际上只有三项，立刻结束.

例题 1

求 $y = e^{-2x}$ 的 $n$ 阶导数.

例题解答 1

先算前几阶找规律：

$$ y' = -2e^{-2x}, \qquad y'' = 4e^{-2x}, \qquad y''' = -8e^{-2x} $$

系数是 $(-2)^{n}$，于是

$$ y^{(n)} = (-2)^{n}e^{-2x} $$

例题 2

求 $y = \sin x$ 的 $n$ 阶导数.

例题解答 2

逐阶算：

$$ y' = \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) $$

$$ y'' = -\sin x = \sin\left(x + \pi\right) = \sin\left(x + \frac{2\pi}{2}\right) $$

$$ y''' = -\cos x = \sin\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) $$

规律是每阶相位前进 $\dfrac{\pi}{2}$，所以

$$ y^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $$

例题 3

求 $y = \ln x$ 的 $n$ 阶导数.

例题解答 3

$$ y' = \frac{1}{x} = x^{-1} $$

$$ y'' = -x^{-2}, \qquad y''' = 2x^{-3}, \qquad y^{(4)} = -6x^{-4} $$

系数的绝对值是阶乘 $(n-1)!$，符号是正负交替（从 $n=2$ 起为负），于是

$$ y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}} $$

注意 $n = 1$ 时也成立：$(-1)^{0}\cdot 0!/x = \dfrac{1}{x}$，对得上.

例题 4

求 $y = x^{2}e^{x}$ 的 $n$ 阶导数（$n \ge 2$）.

例题解答 4

这是莱布尼茨公式的典型用法. 令 $u = e^{x}$（它的任意阶导数都是 $e^{x}$），$v = x^{2}$.

关键：$v$ 求三次导就变 $0$ 了（$v' = 2x$，$v'' = 2$，$v''' = 0$），所以求和只剩三项：

$$ y^{(n)} = u^{(n)}v + \binom{n}{1}u^{(n-1)}v' + \binom{n}{2}u^{(n-2)}v'' $$

代入：

$$ y^{(n)} = e^{x}\cdot x^{2} + n\cdot e^{x}\cdot 2x + \frac{n(n-1)}{2}\cdot e^{x}\cdot 2 $$

整理得

$$ y^{(n)} = e^{x}\left[x^{2} + 2nx + n(n-1)\right] $$

检查 $n = 2$：$e^{x}(x^{2} + 4x + 2)$，而直接算 $y'' = (2e^{x} + 2xe^{x} + x^{2}e^{x})' = e^{x}(x^{2} + 4x + 2)$，对得上.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 求 $y^{(n)}$ | 先算前 3 阶，观察系数与符号规律，再写通式 | | $e^{ax}$ 型 | $a^{n}e^{ax}$，注意符号随 $a$ 走 | | $\sin$、$\cos$ 型 | 相位加 $\dfrac{n\pi}{2}$ | | 有理分式型 | 先拆成部分分式，再用 $\dfrac{1}{1+x}$ 的公式 | | 多项式 × 指数 / 三角 | 莱布尼茨公式，把多项式和低次因子放在 $v$ 位 | | 验证通项 | 代入 $n = 1, 2$ 检验，能挡掉大部分符号错误 |

易错点

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微分

定义

设 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，给 $x_0$ 一个增量 $\Delta x$，如果相应的函数增量可以写成

$$ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A,\Delta x + o(\Delta x) $$

其中 $A$ 是与 $\Delta x$ 无关的常数，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，并称 $A,\Delta x$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记作

$$ dy = A,\Delta x = f'(x_0),\Delta x $$

自变量自己的微分规定为 $dx = \Delta x$，于是微分的标准形式是

$$ dy = f'(x),dx $$

请注意区分两个东西：

$\Delta y$ 是曲线上的真实增量；
$dy$ 是切线上的增量，是 $\Delta y$ 的线性主部.

定理

可微 $\iff$ 可导，且此时 $dy = f'(x)dx$.

也就是说，在这一章里"可微"和"可导"是同一件事，只是说法不同. 证明略，把定义里的 $o(\Delta x)$ 除下来取极限就得到导数.

由此得到一个实用公式：

$$ f'(x) = \frac{dy}{dx} $$

导数就是两个微分的商，这就是莱布尼茨记号 $\dfrac{dy}{dx}$ 的来历，也解释了为什么它长得像分式.

几何意义

在曲线 $y = f(x)$ 上取点 $M(x_0, f(x_0))$，画切线，取增量 $\Delta x$：

$\Delta y$ 是曲线上 $M$ 到 $N$ 的纵坐标增量；
$dy$ 是切线上对应的纵坐标增量.

两者之差 $\Delta y - dy = o(\Delta x)$，这就是"以直代曲"的数学表达：$\Delta x$ 足够小时，切线和曲线几乎是重合的.

微分形式不变性

无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分都保持同一个形式

$$ dy = f'(u),du $$

这一条在换元积分时是根本依据，务必记住.

例题 1

求 $y = x^{3} + 2x$ 的微分.

例题解答 1

先求导，再乘 $dx$：

$$ dy = (3x^{2} + 2),dx $$

例题 2

求 $y = e^{-x}\sin 2x$ 的微分.

例题解答 2

先求导（乘积法则 + 链式法则）：

$$ y' = -e^{-x}\sin 2x + e^{-x}\cdot 2\cos 2x = e^{-x}\left(2\cos 2x - \sin 2x\right) $$

于是

$$ dy = e^{-x}\left(2\cos 2x - \sin 2x\right)dx $$

例题 3

用微分近似计算 $\sqrt{1.02}$.

例题解答 3

取 $f(x) = \sqrt{x}$，$x_0 = 1$，$\Delta x = 0.02$. 由

$$ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x $$

先算 $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，故 $f'(1) = \dfrac{1}{2}$. 于是

$$ \sqrt{1.02} \approx 1 + \frac{1}{2}\times 0.02 = 1.01 $$

精确值约 $1.009950$，近似到小数点后三位是准确的.

例题 4

用微分近似计算 $\ln 1.02$.

例题解答 4

取 $f(x) = \ln x$，$x_0 = 1$，$\Delta x = 0.02$，$f'(1) = 1$：

$$ \ln 1.02 \approx \ln 1 + 1 \times 0.02 = 0.02 $$

技巧

易错点

暂时留空

隐函数求导

定义

前面几节的函数都是显式给出的：$y = f(x)$，$y$ 单独写在一边，等号右边只有 $x$.

隐函数是另一种给法：$y$ 与 $x$ 的关系藏在一个方程里，

$$ F(x, y) = 0 $$

例如

$$ x^{2} + y^{2} = 1, \qquad e^{y} + xy = e, \qquad y - x - \sin y = 0 $$

这些式子里的 $y$ 确实由 $x$ 决定（在局部），但没法（或不值得）把 $y$ 解出来写成 $y = f(x)$. 好在求导并不需要真的解出来.

求导方法

核心只有一句话：两边同时对 $x$ 求导，求到 $y$ 的时候把它当成 $y(x)$，用链式法则多乘一个 $y'$.

三步走：

方程两边对 $x$ 求导. 遇到 $x$ 的表达式照常求；遇到 $y$ 的表达式，先对外层求导，再乘 $y'$；
把所有含 $y'$ 的项移到一边，其余移到另一边；
提出 $y'$ 并解出来.

为什么能这么做：既然 $y = y(x)$ 是 $x$ 的函数，那么 $y^{2}$ 其实就是 $\left[y(x)\right]^{2}$，由链式法则

$$ \left(y^{2}\right)' = 2y\cdot y' $$

这个"多出来的 $y'$"就是隐函数求导最容易漏的东西.

例题 1

求由方程 $x^{2} + y^{2} = 1$ 确定的隐函数的导数 $\dfrac{dy}{dx}$.

例题解答 1

两边对 $x$ 求导，注意 $y^{2}$ 是复合函数：

$$ 2x + 2y\cdot y' = 0 $$

解出 $y'$：

$$ y' = -\frac{x}{y} \qquad (y \neq 0) $$

结果里同时含 $x$ 和 $y$，这是隐函数求导的正常形态，不需要再化成只有 $x$.

例题 2

求由方程 $e^{y} + xy = e$ 确定的隐函数在点 $(0, 1)$ 处的导数.

例题解答 2

先验一下点确实在曲线上：$e^{1} + 0\cdot 1 = e$，成立.

两边对 $x$ 求导：

$$ e^{y}\cdot y' + y + x\cdot y' = 0 $$

把含 $y'$ 的项归拢：

$$ y'\left(e^{y} + x\right) = -y $$

代入 $x = 0$、$y = 1$：

$$ y' = \frac{-1}{e^{0} + 0} = -\frac{1}{e} $$

注意顺序：先求出 $y'$ 的表达式，再代点，不能一边代点一边求导.

例题 3

求 $x^{2} + y^{2} = 1$ 所确定隐函数的二阶导数 $y''$.

例题解答 3

一阶导已经算出：

$$ y' = -\frac{x}{y} $$

再对 $x$ 求一次导，注意 $y$ 仍然是 $x$ 的函数，商的法则要用全：

$$ y'' = -\frac{y - x\cdot y'}{y^{2}} $$

把 $y' = -\dfrac{x}{y}$ 代进去：

$$ y'' = -\frac{y - x\left(-\dfrac{x}{y}\right)}{y^{2}} = -\frac{y + \dfrac{x^{2}}{y}}{y^{2}} = -\frac{y^{2} + x^{2}}{y^{3}} $$

由原方程 $x^{2} + y^{2} = 1$，立刻化简：

$$ y'' = -\frac{1}{y^{3}} $$

这里能化简到底，是因为把原方程用上了. 求二阶隐函数导数时，随时回头用原方程消项，这是关键技巧.

对数求导法

隐函数求导有一个直接衍生出来的工具：如果函数是一堆因子相乘除，或者底数和指数都含 $x$（幂指函数），就先取对数，把它变成隐函数再求导.

幂指函数 $y = u(x)^{v(x)}$ 的做法：

两边取自然对数：$\ln y = v(x)\ln u(x)$；
两边对 $x$ 求导（左边 $\ln y$ 的导数是 $\dfrac{y'}{y}$，又是链式法则）；
两边乘 $y$，还原.

等价地也可以直接写成 $y = e^{v\ln u}$ 再求导，两条路结果一样.

例题 4

求 $y = x^{x}$（$x > 0$）的导数.

例题解答 4

底和指数都含 $x$，这是幂指函数，不能用 $x^{n}$ 或 $a^{x}$ 的公式，必须先取对数.

两边取对数：

$$ \ln y = x\ln x $$

两边对 $x$ 求导，左边是链式法则：

$$ \frac{y'}{y} = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 $$

两边乘 $y$：

$$ y' = y\left(\ln x + 1\right) = x^{x}\left(\ln x + 1\right) $$

如果直接对 $x^{x}$ 用 $x^{n}$ 的公式 $nx^{n-1}$，得到 $x\cdot x^{x-1} = x^{x}$，是错的——那个公式只对常数指数成立.

例题 5

求 $y = x^{\sin x}$（$x > 0$）的导数.

例题解答 5

同样是幂指函数，取对数：

$$ \ln y = \sin x \cdot \ln x $$

两边对 $x$ 求导：

$$ \frac{y'}{y} = \cos x\cdot\ln x + \sin x\cdot\frac{1}{x} $$

所以

$$ y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right) $$

可以直接记成一条通用公式：

$$ \left(u^{v}\right)' = u^{v}\left(v'\ln u + \frac{v,u'}{u}\right) $$

其中 $u = u(x) > 0$，$v = v(x)$. 代入 $u = x$、$v = \sin x$ 时，$u' = 1$、$v' = \cos x$，正好得到上面的结果.

例题 6

设

$$ y = \frac{\sqrt{x+2},(3-x)^{4}}{(1+x)^{5}} $$

求 $y'$.

例题解答 6

这是对数求导法最经典的题型：一堆因子连乘连除，中间还夹着根号和幂次. 直接套商的法则再套链式法则，括号里的东西能写到让人放弃；取过对数之后，所有乘除立刻摊平成加减，一步解决.

约定 $x + 2 > 0$、$3 - x > 0$、$1 + x > 0$（即 $-2 < x < 3$ 且 $x \neq -1$），两边取自然对数：

$$ \ln y = \frac{1}{2}\ln(x+2) + 4\ln(3-x) - 5\ln(1+x) $$

三个因子各自降下来：$\sqrt{\ \cdot\ }$ 贡献系数 $\dfrac{1}{2}$，$(3-x)^{4}$ 贡献 $4$，分母的 $(1+x)^{-5}$ 贡献 $-5$.

两边对 $x$ 求导. 注意 $\ln(3-x)$ 那里还压着一层链式法则，内层导数是 $-1$：

$$ \frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+2} + 4\cdot\frac{-1}{3-x} - 5\cdot\frac{1}{1+x} $$

整理成

$$ \frac{y'}{y} = \frac{1}{2(x+2)} - \frac{4}{3-x} - \frac{5}{1+x} $$

两边乘 $y$，把原式代回去：

$$ y' = \frac{\sqrt{x+2},(3-x)^{4}}{(1+x)^{5}} \left[\frac{1}{2(x+2)} - \frac{4}{3-x} - \frac{5}{1+x}\right] $$

写到这一步，考试里已经是标准答案了.

如果要求合并成一个分式，就把中括号通分，公分母取 $2(x+2)(3-x)(1+x)$：

$$ y' = \frac{\sqrt{x+2},(3-x)^{4}}{(1+x)^{5}}\cdot \frac{(3-x)(1+x) - 8(x+2)(1+x) - 10(x+2)(3-x)}{2(x+2)(3-x)(1+x)} $$

分子展开合并：

$$ (3 + 2x - x^{2}) + (-8x^{2} - 24x - 16) + (10x^{2} - 10x - 60) = x^{2} - 32x - 73 $$

再把能约的因子约掉 —— $\dfrac{(3-x)^{4}}{3-x} = (3-x)^{3}$，$\dfrac{\sqrt{x+2}}{x+2} = \dfrac{1}{\sqrt{x+2}}$，$\dfrac{1}{(1+x)^{5}}\cdot\dfrac{1}{1+x} = \dfrac{1}{(1+x)^{6}}$ —— 得到最简形式：

$$ y' = \frac{(3-x)^{3}\left(x^{2} - 32x - 73\right)}{2\sqrt{x+2},(1+x)^{6}} $$

合并分式属于锦上添花，但步骤要留痕：连乘连除型的题如果直接跳到最简答案，过程分很容易被扣掉.

这一类的通用四步：

两边取对数，把每个因子降成加减；
两边对 $x$ 求导，左边永远是 $\dfrac{y'}{y}$；
两边乘 $y$，把原表达式代回去；
要合并再通分.

一句话总结：取对数的作用只有一条 —— 把乘除变成加减. 只要能明显化简，就说明这题该用对数求导法.

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 方程 $F(x,y)=0$ 求导 | 两边对 $x$ 求导，遇到 $y$ 就多乘一个 $y'$ | | 求某一点的导数值 | 先求出 $y'$ 的表达式，再代点；点不在曲线上要先检查 | | 二阶隐函数导数 | 把 $y'$ 的结果代进去，用商的法则；最后回头用原方程消项 | | 底和指数都含 $x$ | 幂指函数，取对数或写 $e^{v\ln u}$ | | 一堆因子连乘连除 | 对数求导法，取对数把乘除变成加减 | | 结果含 $y$ | 正常，不必强行换成只有 $x$ |

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参数方程求导

定义

前面的函数都是 $y = f(x)$ 这种"直接给 $y$"的形式. 还有一种常见的给法：$x$ 和 $y$ 都由同一个参数 $t$ 决定，

$$ \begin{cases} x = \varphi(t) \[4pt] y = \psi(t) \end{cases} \qquad (\alpha \le t \le \beta) $$

这叫参数方程. 它同样确定了一条曲线，也就同样有 $\dfrac{dy}{dx}$，只是不能直接求，得靠 $t$ 搭桥.

典型的例子：

圆：$x = a\cos t,\ y = a\sin t$
椭圆：$x = a\cos t,\ y = b\sin t$
摆线：$x = a(t - \sin t),\ y = a(1 - \cos t)$
对数螺线：$x = e^{t}\cos t,\ y = e^{t}\sin t$

定理（一阶导数）

设 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 都可导，且 $\varphi'(t) \neq 0$，则

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$

一句话记法：上下分别对 $t$ 求导，再相除. 因为 $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ 本质上就是分子分母同除 $dt$，所以它和莱布尼茨记号完全自洽.

条件 $\varphi'(t) \neq 0$ 不能省：它保证 $x$ 在局部能反解成 $t$ 的函数，否则曲线在该点可能有竖直切线，$\dfrac{dy}{dx}$ 不存在.

定理（二阶导数）

$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\psi''(t),\varphi'(t) - \psi'(t),\varphi''(t)}{\left[\varphi'(t)\right]^{3}} $$

这个公式不好背，更好的做法是记住怎么算，一次推三遍比背十遍牢：

先把一阶导 $\dfrac{dy}{dx}$ 算出来，它是 $t$ 的函数，记作 $g(t)$；
对 $x$ 再求一次导，但 $g$ 是 $t$ 的函数，所以要用链式法则：

$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\dfrac{d}{dt},g(t)}{\dfrac{dx}{dt}} $$

也就是**"对 $t$ 求完导，再除以 $\varphi'(t)$"**.

备注

$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 绝对不等于 $\dfrac{\psi''(t)}{\varphi''(t)}$. 这是参数方程这一节最高频的错误，没有之一.

原因和隐函数求二阶导那节一样：$\dfrac{dy}{dx}$ 已经不是原来的函数了，它是 $t$ 的函数，再对 $x$ 求导时必须补一个 $\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{\varphi'(t)}$，漏掉这个因子结果就完全不对.

用 $x = t^{2},\ y = t^{3}$ 验一下就知道差距有多大：正确答案是 $\dfrac{3}{4t}$，而错误做法给的 $\dfrac{6t}{2} = 3t$，差了一个量级.

例题 1

求摆线

$$ \begin{cases} x = a(t - \sin t) \[4pt] y = a(1 - \cos t) \end{cases} $$

的一阶导数 $\dfrac{dy}{dx}$（$a > 0$）.

例题解答 1

分别对 $t$ 求导：

$$ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \qquad \frac{dy}{dt} = a\sin t $$

相除，$a$ 直接约掉：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t} $$

到这一步已经算完了，但用半角公式还能化得更干净：

$$ \frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{2\sin\dfrac{t}{2}\cos\dfrac{t}{2}}{2\sin^{2}\dfrac{t}{2}} = \frac{\cos\dfrac{t}{2}}{\sin\dfrac{t}{2}} = \cot\frac{t}{2} $$

摆线的一阶导化简成 $\cot\dfrac{t}{2}$，后面求二阶导会方便很多.

例题 2

设

$$ \begin{cases} x = t^{2} \[4pt] y = t^{3} \end{cases} $$

求 $\dfrac{dy}{dx}$ 与 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.

例题解答 2

一阶导：

$$ \frac{dx}{dt} = 2t, \qquad \frac{dy}{dt} = 3t^{2} $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{3t^{2}}{2t} = \frac{3}{2}t \qquad (t \neq 0) $$

二阶导 用"对 $t$ 求导再除以 $\varphi'(t)$"：

$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{3}{2}t\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \frac{\dfrac{3}{2}}{2t} = \frac{3}{4t} $$

用公式验一遍：$\psi'' = 6t$，$\varphi'' = 2$，

$$ \frac{6t\cdot 2t - 3t^{2}\cdot 2}{(2t)^{3}} = \frac{12t^{2} - 6t^{2}}{8t^{3}} = \frac{6t^{2}}{8t^{3}} = \frac{3}{4t} $$

两者一致.

例题 3

求椭圆

$$ \begin{cases} x = a\cos t \[4pt] y = b\sin t \end{cases} $$

在 $t = \dfrac{\pi}{4}$ 处的切线方程.

例题解答 3

斜率：

$$ \frac{dx}{dt} = -a\sin t, \qquad \frac{dy}{dt} = b\cos t $$

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t $$

代入 $t = \dfrac{\pi}{4}$，$\cot\dfrac{\pi}{4} = 1$，故

$$ k = -\frac{b}{a} $$

切点坐标 要代回参数方程，不能只代 $x$：

$$ x_0 = a\cos\frac{\pi}{4} = \frac{a}{\sqrt{2}}, \qquad y_0 = b\sin\frac{\pi}{4} = \frac{b}{\sqrt{2}} $$

切线方程：

$$ y - \frac{b}{\sqrt{2}} = -\frac{b}{a}\left(x - \frac{a}{\sqrt{2}}\right) $$

注意切点 $(x_0, y_0)$ 必须由参数方程成对算出，这是参数方程求切线最容易漏的一步.

例题 4

求摆线 $x = a(t - \sin t)$、$y = a(1 - \cos t)$ 的二阶导数 $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$.

例题解答 4

例题 1 已经算出一阶导：

$$ \frac{dy}{dx} = \cot\frac{t}{2} $$

现在对它求 $t$ 的导数，再除以 $\dfrac{dx}{dt}$：

$$ \frac{d}{dt}\left(\cot\frac{t}{2}\right) = -\csc^{2}\frac{t}{2}\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sin^{2}\dfrac{t}{2}} $$

而

$$ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t) = 2a\sin^{2}\frac{t}{2} $$

两式相除：

$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{-\dfrac{1}{2\sin^{2}\dfrac{t}{2}}}{2a\sin^{2}\dfrac{t}{2}} = -\frac{1}{4a\sin^{4}\dfrac{t}{2}} $$

这个结果有个物理意义：摆线的曲率处处不为零，且 $\sin\dfrac{t}{2} = 0$ 处（即 $t = 2k\pi$，摆线的尖点）二阶导发散，对应尖点处曲率无穷大.

例题 5

求曲线

$$ \begin{cases} x = e^{t}\cos t \[4pt] y = e^{t}\sin t \end{cases} $$

在 $t = 0$ 处的切线方程.

例题解答 5

分别求导（都要用乘积法则）：

$$ \frac{dx}{dt} = e^{t}\cos t - e^{t}\sin t = e^{t}\left(\cos t - \sin t\right) $$

$$ \frac{dy}{dt} = e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}\left(\sin t + \cos t\right) $$

斜率：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} $$

代入 $t = 0$：

$$ k = \frac{0 + 1}{1 - 0} = 1 $$

切点：

$$ x_0 = e^{0}\cos 0 = 1, \qquad y_0 = e^{0}\sin 0 = 0 $$

切线方程：

$$ y - 0 = 1\cdot(x - 1) \quad \Longrightarrow \quad y = x - 1 $$

技巧

| 遇到 | 手段 | | :--- | :--- | | 参数方程求一阶导 | 分别求 $\dfrac{dx}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$，然后相除 | | 求二阶导 | 对 $t$ 求导后再除以 $\varphi'(t)$，千万别写 $\dfrac{\psi''}{\varphi''}$ | | 求某点的切线 | 先由参数值得切点坐标，再由 $\dfrac{dy}{dx}$ 得斜率 | | 一阶导结果很丑 | 用三角半角/倍角公式化简，二阶导会省一半力气 | | $x$、$y$ 含 $e^{t}$ 或 $\ln t$ | 求导用乘积法则，别漏项 | | 题目问"曲线上某点" | 通常先反解出 $t$ 的值，再代公式 |

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洛必达法则

有趣的冷知识：洛必达法则并不是洛必达发现的，而是由瑞士数学家约翰·伯努利发现的。

1694年，洛必达与约翰·伯努利达成协议：洛必达聘请约翰·伯努利为他辅导微积分，定期支付薪水。作为交换，伯努利需将自己所有的新数学发现告知洛必达，且不得透露给他人。

1696年，洛必达出版了世界上第一部系统的微积分教科书。在书中，他首次公开发表了这条求极限的法则，因此后人便以他的名字命名。

使用前提

这是整个第一章最实用的计算工具，但也是被滥用得最厉害的一条. 三个条件缺一不可：

型必须是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$. 其他型（$\infty - \infty$、$0\cdot\infty$、$1^{\infty}$ 等）必须先化成这两种，不能直接套；
在 $x_0$ 的某去心邻域内，$f'(x)$、$g'(x)$ 都存在，且 $g'(x) \neq 0$；
$\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$）.

第 3 条是充分不必要条件，这一点在例题 7 里会看到反例.

定理

在满足上述三个条件时，

$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

结论可以反复使用：如果求完一次导还是 $\dfrac{0}{0}$，就再求一次，直到不再是未定式为止.

证明略. 它本质上是柯西中值定理的推论，等 Part 3 讲中值定理时再补.

备注

四条必须记清的事实：

只有 $\dfrac{0}{0}$ 和 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 能直接用. 别的型看到就先去变形，最常见的三种变形见下面例题 4、5、6；
每用一次必须重新验型. 求完一次导如果已经不是未定式了，立刻停手，再求就错；
先替换，再求导. 能先用等价无穷小化简就先化简，往往一步到位，比连求三次导省事得多. 例题 5 就是两者配合用的；
数列极限不能用洛必达. 数列是离散的点，不可导. 遇到 $\lim\limits_{n\to\infty}$ 的题，要么改用夹逼/单调有界，要么先把 $n$ 换成连续变量 $x$ 再用洛必达，最后结论还能回到 $n$.
总之，先等价无穷小替换，再验型后才能使用洛必达。

例题 1

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} $$

例题解答 1

代入是 $\dfrac{0}{0}$，型对得上，直接求导：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^{x} - 1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1} = e^{0} = 1 $$

一步就结束了. 这个结论前面"等价无穷小"那节已经背过：$x \to 0$ 时 $e^{x} - 1 \sim x$. 两道题会做一道就行，考场上用等价无穷小更快.

例题 2

求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}} $$

例题解答 2

代入是 $\dfrac{0}{0}$，第一次：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}} = \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^{2}} $$

还是 $\dfrac{0}{0}$，第二次：

$$ = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x} $$

仍是 $\dfrac{0}{0}$，第三次：

$$ = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6} $$

每次求完都要回头看型，三次都是 $\dfrac{0}{0}$ 才能连续用. 如果哪一步已经变成 $\dfrac{1}{6}$ 这种确定值，就必须停.

这题用泰勒展开一步就出结果（$x - \sin x \sim \dfrac{x^{3}}{6}$），洛必达要导三次，明显更慢. 这就是"洛必达不是最优解"的典型例子.

例题 3

求

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x} $$

例题解答 3

$+\infty/\infty$ 型，条件满足，求导：

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\dfrac{1}{x}}{1} = \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x} = 0 $$

这个结论值得单独记住：对数增长比任何正次幂都慢. 同理有

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}} = 0 $$

指数增长比任何多项式都快.

例题 4

求

$$ \lim_{x\to 0^{+}}x\ln x $$

例题解答 4

这是 $0 \cdot (-\infty)$ 型，不是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$，不能直接洛必达.

先把乘积化成商，把 $x$ 搬到分母上：

$$ x\ln x = \frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} $$

现在变成 $\dfrac{-\infty}{+\infty}$ 型，可以用了：

$$ \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln x}{\dfrac{1}{x}} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to 0^{+}}\left(-x\right) = 0 $$

搬哪一个因子到分母上是有讲究的：要把"求导之后会变简单"的那个搬下去. 这里把 $x$ 搬到分母变成 $\dfrac{1}{x}$，求导后变 $-\dfrac{1}{x^{2}}$，正好把 $\dfrac{1}{x}$ 约掉.

例题 5

求

$$ \lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1}\right) $$

例题解答 5

代入是 $\infty - \infty$ 型，先通分化成商：

$$ \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) - \ln x}{(x-1)\ln x} $$

分母是 $\dfrac{0}{0}$，可以用洛必达. 但直接对 $(x-1)\ln x$ 求导会越算越乱，先用等价无穷小把分母换掉：$x \to 1$ 时 $\ln x \sim x - 1$，所以

$$ (x-1)\ln x \sim (x-1)^{2} $$

于是

$$ \lim_{x\to 1}\frac{(x-1) - \ln x}{(x-1)^{2}} $$

现在才是干净的 $\dfrac{0}{0}$，求导：

$$ = \lim_{x\to 1}\frac{1 - \dfrac{1}{x}}{2(x-1)} = \lim_{x\to 1}\frac{\dfrac{x-1}{x}}{2(x-1)} = \lim_{x\to 1}\frac{1}{2x} = \frac{1}{2} $$

这题是等价无穷小 + 洛必达配合的标准示范：先用等价无穷小把结构简化到最简形式，再洛必达一次收工.

例题 6

求

$$ \lim_{x\to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} $$

例题解答 6

$1^{\infty}$ 型，幂指函数，先取对数把它拉下来：

设 $y = (1+x)^{1/x}$，则

$$ \ln y = \frac{\ln(1+x)}{x} $$

先算这个极限，代入是 $\dfrac{0}{0}$，洛必达：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{1}{1+x}}{1} = 1 $$

所以 $\ln y \to 1$，由 $e^{t}$ 的连续性

$$ y = e^{\ln y} \longrightarrow e^{1} = e $$

也就是

$$ \lim_{x\to 0}\left(1 + x\right)^{1/x} = e $$

这其实就是第二个重要极限. 用洛必达重推一遍的意义在于：$1^{\infty}$ 型题目的标准流程是"取对数 → 变成 $\dfrac{0}{0}$ → 洛必达 → 回代"，后面碰到 $\left(\cos x\right)^{1/x^{2}}$ 这类题都照这个走.

例题 7

求

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x + \sin x}{x} $$

例题解答 7

这是一个洛必达失效的反例，必须记住.

代入是 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，看上去完全符合条件. 如果硬用洛必达：

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{1 + \cos x}{1} $$

可是 $1 + \cos x$ 在 $0$ 与 $2$ 之间振荡，极限不存在.

但这不代表原极限不存在. 换一种算法，直接拆开：

$$ \frac{x + \sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x} $$

而 $\left\lvert \sin x\right\rvert \le 1$ 有界，$\dfrac{1}{x} \to 0$，由"有界 × 无穷小 = 无穷小"，

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x} = 0 $$

所以

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x + \sin x}{x} = 1 $$

结论：$\lim\dfrac{f'}{g'}$ 不存在，推不出 $\lim\dfrac{f}{g}$ 不存在. 洛必达的第 3 条条件是充分不必要的，只有"$\lim\dfrac{f'}{g'}$ 存在"时才能反推原极限存在，反过来不成立.

例题 8

求

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{\dfrac{\pi}{2} - \arctan x}{\dfrac{1}{x}} $$

例题解答 8

先判型：$x \to +\infty$ 时 $\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$，分子趋于 $0$；$\dfrac{1}{x}\to 0$，分母也趋于 $0$. 所以是 $\dfrac{0}{0}$ 型，可以洛必达.

分子的导数要小心，$\left(\arctan x\right)' = \dfrac{1}{1+x^{2}}$ 是正的，但前面有个负号：

$$ \left(\frac{\pi}{2} - \arctan x\right)' = -\frac{1}{1+x^{2}} $$

分母的导数：

$$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}} $$

两者相除，负号抵消：

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{-\dfrac{1}{1+x^{2}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = \lim_{x\to +\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{2}} = \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\dfrac{1}{x^{2}} + 1} = 1 $$

答案

$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{\dfrac{\pi}{2} - \arctan x}{\dfrac{1}{x}} = 1 $$

这题的考点有三个：

反三角函数的导数带不带负号要看表达式，$\left(\arctan x\right)'$ 本身是正的，但被减之后整项变负；
分子分母同时出负号，会互相抵消，别算着算着把符号丢了；
换一种眼光看它对数秒杀：由恒等式

$$ \frac{\pi}{2} - \arctan x = \arctan\frac{1}{x} $$

（对 $x > 0$ 成立），而 $t \to 0$ 时 $\arctan t \sim t$，所以分子 $\sim \dfrac{1}{x}$，与分母 $\dfrac{1}{x}$ 一比，极限立刻是 $1$.

顺带一句：这题的答案还能反过来说明 $\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right) = 1$，也就是 $\arctan x$ 以 $\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{1}{x}$ 的速度逼近 $\dfrac{\pi}{2}$.

例题 9

设 $a, b > 0$，求

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln\sin(ax)}{\ln\sin(bx)} $$

例题解答 9

先判型：$x \to 0$ 时 $\sin(ax) \to 0^{+}$，所以 $\ln\sin(ax) \to -\infty$；分母同理. 是 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型，可以洛必达.

分子求导，注意是两层复合：外层 $\ln$，内层 $\sin(ax)$：

$$ \left[\ln\sin(ax)\right]' = \frac{1}{\sin(ax)}\cdot a\cos(ax) = a\cot(ax) $$

分母同理：

$$ \left[\ln\sin(bx)\right]' = b\cot(bx) $$

于是

$$ \lim_{x\to 0}\frac{a\cot(ax)}{b\cot(bx)} = \frac{a}{b}\lim_{x\to 0}\frac{\cot(ax)}{\cot(bx)} $$

到这里洛必达就用完了 —— 再求一次导会变成 $\csc^{2}$ 的除法，越弄越乱. 正确做法是换成等价无穷小：$t \to 0$ 时

$$ \cot t = \frac{\cos t}{\sin t} \sim \frac{1}{t} $$

因为 $\cos t \to 1$、$\sin t \sim t$. 所以

$$ \frac{\cot(ax)}{\cot(bx)} \sim \frac{\dfrac{1}{ax}}{\dfrac{1}{bx}} = \frac{bx}{ax} = \frac{b}{a} $$

代回去：

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln\sin(ax)}{\ln\sin(bx)} = \frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a} = 1 $$

结论与 $a$、$b$ 完全无关，恒等于 $1$.

更快的一条路是直接看数量级：$x\to 0$ 时

$$ \ln\sin(ax) = \ln(ax) + \ln\frac{\sin(ax)}{ax} = \ln a + \ln x + o(1) $$

同理 $\ln\sin(bx) = \ln b + \ln x + o(1)$. 分子分母里 $\ln x \to -\infty$ 是主项，把常数 $\ln a$、$\ln b$ 压得可以忽略，所以比值必然趋于 $1$.

这题的考点：

对数型极限是 $\dfrac{\infty}{\infty}$，不要看到 $\ln$ 就以为好算；
洛必达只用一次，剩下的交给等价无穷小 $\cot t \sim \dfrac{1}{t}$；
结论说明：常数因子在 $-\infty$ 面前是"无穷小的扰动"，这也解释了为什么答案与 $a$、$b$ 无关.

技巧

| 型 | 变形手法 | 变完是什么 | | :--- | :--- | :--- | | $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ | 直接用 | — | | $0\cdot\infty$ | 把其中一个因子搬到分母，写成 $\dfrac{f}{1/g}$ | $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ | | $\infty - \infty$ | 通分，或先提公因式 | $\dfrac{0}{0}$ | | $1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$ | 取对数 $\ln y = v\ln u$ | $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ |

三条使用纪律：

先验型，不对型就不许动；
能先用等价无穷小化简就先化简，洛必达只留到最后一步；
每求一次导重新验型，型消失了立刻停.

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999 常用公式汇总

高数公式速查

只放必须背下来的东西，不放例题、不放推导。考前翻这一页就够了。

极限的基本结论

| 结论 | 条件 | | :--- | :--- | | $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}} = 0$ | $\alpha > 0$ | | $\lim\limits_{n\to\infty}q^{n} = 0$ | $\lvert q\rvert < 1$ | | $\lim\limits_{n\to\infty}q^{n} = 1$ | $q = 1$ | | $q^{n}$ 发散 | $\lvert q\rvert > 1$ 或 $q = -1$ | | $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1$ | — | | $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a} = 1$ | $a > 0$ | | $\lim\limits_{x\to 0^{+}}x^{x} = 1$ | 幂指函数，见「两个重要极限」 | | $\lim\limits_{x\to +\infty}x^{1/x} = 1$ | 同上 | | $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x$ 不存在 | 左右极限 $\pm\dfrac{\pi}{2}$ 不等 | | $\lim\limits_{x\to\infty}\tanh x$ 不存在 | 左右极限 $\pm 1$ 不等 |

两个重要极限

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 $$

$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e \qquad\Longleftrightarrow\qquad \lim_{x\to 0}\left(1+x\right)^{1/x} = e $$

速算公式（$1^{\infty}$ 型的核心，比硬套定义快得多）：

$$ \lim\left[1 + u(x)\right]^{v(x)} = e^{,\lim u(x)v(x)} \qquad \bigl(\lim u = 0\bigr) $$

三种幂指未定式的统一解法：

$$ u^{v} = e^{v\ln u} \qquad\Longrightarrow\qquad \lim u^{v} = e^{,\lim v\ln u} $$

$1^{\infty}$、$0^{0}$、$\infty^{0}$ 三种数过去都是 $0\cdot\infty$ 型：

| 未定式 | $v\ln u$ 的形状 | 归一为 | | :--- | :--- | :--- | | $1^{\infty}$ | $\infty\cdot\ln 1 = \infty\cdot 0$ | $0\cdot\infty$ | | $0^{0}$ | $0\cdot\ln 0 = 0\cdot(-\infty)$ | $0\cdot\infty$ | | $\infty^{0}$ | $0\cdot\ln\infty = 0\cdot(+\infty)$ | $0\cdot\infty$ |

等价无穷小

全部是 $x \to 0$ 时的结论：

使用铁律：

只能对乘除因子整体替换；
加减项不能替换，低阶项抵消时必须先提公因式化减为乘。

无穷小、无穷大与阶

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = A \iff f(x) = A + \alpha(x),\quad \alpha \text{ 为无穷小} $$

有限个无穷小的和、积仍是无穷小；
常数 × 无穷小 = 无穷小；
有界函数 × 无穷小 = 无穷小；
$f(x) \neq 0$ 时：$f$ 是无穷大 $\iff \dfrac{1}{f}$ 是无穷小。

阶的定义（$\alpha, \beta$ 同为无穷小，$\beta \neq 0$）：

| $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}$ | 结论 | 记号 | | :--- | :--- | :--- | | $0$ | $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小 | $\alpha = o(\beta)$ | | $\infty$ | $\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小 | — | | $c \neq 0$ | 同阶无穷小 | $\alpha = O(\beta)$ | | $1$ | 等价无穷小 | $\alpha \sim \beta$ |

若 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta^{k}} = c \neq 0$，则 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。

连续与间断点

连续的三要素（缺一不可）：

$$ \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) $$

$f(x_0)$ 有定义；2. 极限存在且有限；3. 两者相等。

$$ f \text{ 在 } x_0 \text{ 连续} \iff f \text{ 既左连续又右连续} $$

关系链（箭头不可逆）：

$$ \text{可导} ;\Longrightarrow; \text{连续} ;\Longrightarrow; \text{有极限} $$

间断点分类：

| 类型 | 判据 | 细分 | | :--- | :--- | :--- | | 第一类 | 左右极限都是有限数 | 左 $=$ 右 $\neq f(x_0)$（或 $f(x_0)$ 无定义）$\Rightarrow$ 可去左 $\neq$ 右 $\Rightarrow$ 跳跃 | | 第二类 | 至少一侧极限不存在 | 趋于 $\infty$ $\Rightarrow$ 无穷来回振荡 $\Rightarrow$ 振荡 |

求导基本公式表

记忆线索：带 co 的三角函数求导都带负号；双曲函数求导比三角函数少一个负号，唯一例外是 $\coth$。

求导运算法则

四则运算：

$$ (u \pm v)' = u' \pm v' $$

$$ (uv)' = u'v + uv' $$

$$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} $$

复合函数（链式法则）：

$$ \frac{dy}{dx} = f'(u)\cdot g'(x) = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} $$

反函数：

$$ \frac{dx}{dy} = \frac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \qquad \left[f^{-1}(y)\right]' = \frac{1}{f'(x)} \qquad (f'(x) \neq 0) $$

隐函数 $F(x,y) = 0$：

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} $$

（实操：两边对 $x$ 求导，遇到 $y$ 多乘一个 $y'$，再解出来。）

参数方程 $x = \varphi(t),\ y = \psi(t)$：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$

$$ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{\left[\varphi'(t)\right]^{3}} = \frac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\varphi'(t)} $$

陷阱：$\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}} \ne \dfrac{\psi''}{\varphi''}$。记不住长公式就用右边那个等价写法：对 $t$ 求导，再除以 $\varphi'(t)$。

幂指函数 $y = u^{v}$（$u > 0$）：

$$ \left(u^{v}\right)' = u^{v}\left(v'\ln u + \frac{v,u'}{u}\right) $$

对数求导法：$y = \dfrac{u_1 u_2 \cdots}{v_1 v_2 \cdots}$ 型，先取 $\ln$ 再两边求导：

$$ \frac{y'}{y} = \frac{u_1'}{u_1} + \frac{u_2'}{u_2} - \frac{v_1'}{v_1} - \frac{v_2'}{v_2} $$

高阶导数公式

$$ \left(e^{ax}\right)^{(n)} = a^{n}e^{ax} $$

$$ \left(a^{x}\right)^{(n)} = a^{x}\left(\ln a\right)^{n} $$

$$ \left(\sin x\right)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \qquad \left(\cos x\right)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ \left(x^{m}\right)^{(n)} = \begin{cases} m(m-1)\cdots(m-n+1),x^{m-n}, & n \le m \[4pt] 0, & n > m \end{cases} $$

$$ \left(\ln x\right)^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n}} $$

$$ \left(\frac{1}{a+x}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^{n},n!}{(a+x)^{n+1}} $$

莱布尼茨公式：

$$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k},u^{(n-k)},v^{(k)} $$

实用口诀：把求导后会变 $0$ 的因子放在 $v$ 位，求和自动截断。

微分公式

$$ dy = f'(x),dx $$

$$ \Delta y = A,\Delta x + o(\Delta x) \quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ 可微} \quad\Longleftrightarrow\quad f \text{ 可导} $$

一阶微分形式不变性（$u$ 是自变量或中间变量都成立）：

$$ dy = f'(u),du $$

微分法则：

$$ d(u \pm v) = du \pm dv $$

$$ d(uv) = u,dv + v,du $$

$$ d\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v,du - u,dv}{v^{2}} $$

近似计算与误差估计：

$$ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0),\Delta x $$

$$ \lvert \Delta y\rvert \approx \lvert dy\rvert = \lvert f'(x_0)\rvert,\lvert \Delta x\rvert $$

常用近似式（$\lvert x\rvert$ 很小）：

$$ e^{x} \approx 1 + x, \qquad \ln(1+x) \approx x, \qquad \sin x \approx x, \qquad \tan x \approx x $$

$$ (1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x, \qquad \sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} $$

双曲函数

定义：

$$ \sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $$

$$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}, \qquad \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} $$

核心恒等式：

$$ \cosh^{2}x - \sinh^{2}x = 1 $$

$$ 1 - \tanh^{2}x = \frac{1}{\cosh^{2}x}, \qquad \coth^{2}x - 1 = \frac{1}{\sinh^{2}x} $$

和角公式（注意 $\cosh$ 那条的符号是 $+$）：

$$ \sinh(x \pm y) = \sinh x\cosh y \pm \cosh x\sinh y $$

$$ \cosh(x \pm y) = \cosh x\cosh y \pm \sinh x\sinh y $$

倍角公式：

$$ \sinh 2x = 2\sinh x\cosh x $$

$$ \cosh 2x = \cosh^{2}x + \sinh^{2}x = 2\cosh^{2}x - 1 = 2\sinh^{2}x + 1 $$

反双曲函数：

$$ \operatorname{arsinh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} + 1}\right), \qquad x \in \mathbb{R} $$

$$ \operatorname{arcosh} x = \ln\left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right), \qquad x \ge 1 $$

$$ \operatorname{artanh} x = \frac{1}{2}\ln\frac{1 + x}{1 - x}, \qquad \lvert x\rvert < 1 $$

反双曲函数的导数（积分时常用）：

$$ \left(\operatorname{arsinh} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} $$

$$ \left(\operatorname{arcosh} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \qquad (x > 1) $$

$$ \left(\operatorname{artanh} x\right)' = \frac{1}{1 - x^{2}} \qquad (\lvert x\rvert < 1) $$

切线与法线、渐近线

切线（点 $(x_0, f(x_0))$，斜率 $k = f'(x_0)$）：

$$ y - f(x_0) = f'(x_0)\left(x - x_0\right) $$

法线（当 $f'(x_0) \neq 0$）：

$$ y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}\left(x - x_0\right) $$

三种渐近线：

| 类型 | 条件 | 方程 | | :--- | :--- | :--- | | 竖直 | $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \infty$ | $x = x_0$ | | 水平 | $\lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x) = b$ | $y = b$ | | 斜 | $k = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$，$b = \lim\limits_{x\to\infty}\left[f(x) - kx\right]$ 都存在 | $y = kx + b$ |

洛必达法则

三个条件（缺一不可）：

型必须是 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$；
$x_0$ 的去心邻域内 $f'(x)$、$g'(x)$ 存在，且 $g'(x) \neq 0$；
$\lim\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为 $\infty$）。

满足时：

$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

可以连续使用，但每用一次都必须重新验型。

三条红线：

条件 3 是充分不必要的：$\lim\dfrac{f'}{g'}$ 不存在，推不出 $\lim\dfrac{f}{g}$ 不存在（反例 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+\sin x}{x} = 1$，但 $(1+\cos x)$ 无极限）；
数列极限不能用，$n$ 是离散的不可导；
总之，先等价无穷小替换，再验型后才能使用洛必达。

洛必达：各种未定式怎么化成能用的型

洛必达只吃 $\dfrac{0}{0}$ 和 $\dfrac{\infty}{\infty}$，其余全是"先变形再洛必达"。

| 未定式 | 变形手法 | 化完是什么 | | :--- | :--- | :--- | | $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$ | 直接用 | — | | $0\cdot\infty$ | 把其中一个因子搬到分母，写成 $\dfrac{f}{1/g}$ | $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ | | $\infty - \infty$ | 通分，或先提公因式 | $\dfrac{0}{0}$ | | $1^{\infty}$ | 取对数 $\ln y = v\ln u$ | $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ | | $0^{0}$ | 同上，$y = e^{v\ln u}$ | 同上 | | $\infty^{0}$ | 同上 | 同上 |

三个操作要点：

$0\cdot\infty$ 搬谁下去：搬"求导后会变简单"的那个。例：$x\ln x$ 要把 $x$ 搬到分母成 $\dfrac{1}{x}$，求导后得 $-\dfrac{1}{x^{2}}$，正好把分子里的 $\dfrac{1}{x}$ 约掉；
$\infty - \infty$ 先通分，通完通常自动降级成 $\dfrac{0}{0}$；含根号的先有理化；
幂指型一律取对数，把指数拉下来变成乘积，此时极限记为 $A$，原极限是 $e^{A}$。

未定式与对应手法

| 型 | 手法 | | :--- | :--- | | $\dfrac{0}{0}$ | 因式分解约分 / 有理化 / 通分 / 等价无穷小 / 洛必达 | | $\dfrac{\infty}{\infty}$ | 抓大放小（同除最高次幂）/ 洛必达 | | $\infty - \infty$ | 分式相减先通分；含根号先有理化 | | $0\cdot\infty$ | 化成分式转成 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$ | | $1^{\infty}$ | 底拆成 $1+u$，答案 $e^{\lim uv}$ | | $0^{0}$ | 写 $e^{v\ln u}$，先算 $v\ln u$ | | $\infty^{0}$ | 同上，$e^{v\ln u}$ |

建站记 01

你好，这里是Misaka13548。

现在是还未完成建站的我，不过我现在很想写点什么。

首先，我很感谢 Nakanomk的网站让我有了搭建个人网站这个想法，让我不用度过这空虚的8月了。

推荐的Markdown编辑器Typora也十分好用，不然我就要对着vscode发呆了。

虽然直接拿现成框架可能有点不太好，不过Astro-theme-pure这个主题确实很简约好看，我很喜欢。

对我来说，搭建个人网站并在上面发一些自己的见解是我现实生活中为数不多能够倾述个人情感和观点的地方了，毕竟朋友圈和qq空间我实在是不太爱用，而且我也没什么人可以倾诉。所以我认为在这里倾诉给空气也不错，未来在我想要表达一些东西的时候我可能就会更新个人Blog，希望我不会让这个Blog网站吃灰吧。

感谢你看到最后，我会努力更新的。

2026.08.09

Misaka13548